Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Assuntos relativos às Olimpíadas Nacionais de Física

Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Terça Jul 30, 2013 1:06 pm

Tópico análogo a este.

Aqui são postadas sugestões de resolução, não propriamente soluções sobre as quais se tem a certeza absoluta (pelo menos não na maioria dos casos).
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Terça Jul 30, 2013 1:07 pm

Problema 3, alínea a):

Imagem



Também podíamos ter:


Imagem


Podemos arbitrar o sentido de, digamos, \vec{F}_{a_{1}} como sendo positivo ou negativo, desde que \vec{F}_{a_{2}} tenha sentido contrário.

Julgo também que:
|\vec{F}_{a_{1}}|=|\vec{F}_{a_{2}}| e a intensidade de \vec{T} (tensão) é a mesma para os dois blocos.

Tal como referido nos comentários dos ficheiros, marquei apenas as forças que atuam em cada um dos blocos, como penso que se pede no enunciado. A massa M também está sujeita a certas forças, desde logo o seu peso e também forças de tensão (duas \vec{T}), em princípio.


Novo diagrama (peço desculpa se isto ocupa demasiado espaço):

Imagem
Anexos
OdFteorica_B_nac2013-problema3a-res2.jpg
As forças só estão marcadas no caso dos blocos.
OdFteorica_B_nac2013-problema3a-res2.jpg (80.42 KiB) Visualizado 3807 vezes
OdFteorica_B_nac2013-problema3a-res.jpg
As forças só estão marcadas no caso dos blocos.
OdFteorica_B_nac2013-problema3a-res.jpg (80.07 KiB) Visualizado 3851 vezes
última vez editado por e_samarta s Terça Jul 30, 2013 3:44 pm, editado 2 vezes no total
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor ajcoelho em Terça Jul 30, 2013 1:55 pm

Ainda faltam umas quantas forças. A que a superficie horizontal exerce em m1 e a força que m1 exerce em m2 e vice versa.

A minha grande questao é em relaçao ao sentido das forças de atrito. Podes me explicar como é que pensaste em relação a isso? Porque é que em m2 a Fa tá no sentido este e em m1 no sentido oeste? Thanks :hands:
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Terça Jul 30, 2013 2:16 pm

ajcoelho Escreveu:Ainda faltam umas quantas forças. A que a superficie horizontal exerce em m1 e a força que m1 exerce em m2 e vice versa.

A minha grande questao é em relaçao ao sentido das forças de atrito. Podes me explicar como é que pensaste em relação a isso? Porque é que em m2 a Fa tá no sentido este e em m1 no sentido oeste? Thanks :hands:


Eu só vi o teu comentário depois de ter editado a minha mensagem pela primeira vez... Acho que já referi isso dos sentidos.

Sim, faltam certas forças, mas, tal como o peso de cada um dos blocos, não interessam para o problema (a não ser talvez \vec{N})... Por acaso, quando foi da prova, acho mesmo que as cheguei a representar, mas o problema é que o diagrama já está um pouco cheio na zona dos blocos....

Talvez tente melhorá-lo...
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor ajcoelho em Terça Jul 30, 2013 2:55 pm

Sim, os módulos das forças de atrito sao iguais nos dois blocos.. No entanto, o sentido delas é muito importante. Em m2 só pode estar para a direita ou para a esquerda, certo? E em m1 é ao contrario porque se trata de um par açao reaçao...
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Terça Jul 30, 2013 3:42 pm

Sim, acho que \vec{F}_{a_{1}} e \vec{F}_{a_{2}} constituem um par ação-reação.

Tenho outro diagrama, mas, como já previa, está menos claro do que os outros. Podia, ainda, representar as forças exercidas na superfície horizontal (que devem ser iguais à soma de \vec{P}_{1} com \vec{P}_{2} ou antes iguais a \vec{P}_{M}), mas mesmo sem isso já são bastantes vetores e só são pedidas as forças que atuam nos blocos. (E se calhar podia ainda representar mais forças.)

No entanto, acabei por adicionar algumas outras coisas, por exemplo, no que diz respeito à massa M, pois auxilia na resolução do problema.

Estão igualmente presentes umas linhas curvas em cima de uns vetores, isto porque acho que ter \vec{P}_{m_{1}+m_{2}} e ao mesmo tempo \vec{P}_{1} e \vec{P}_{2} é redundante (o mesmo se aplica às forças normais), mas estão lá caso alguém queira olhar para os dois blocos como um único sistema.

Se tiver tempo e notar alguma(s) coisa(s) mal, eu emendarei o diagrama.
Anexos
OdFteorica_B_nac2013-problema3aT.jpg
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Terça Jul 30, 2013 4:34 pm

Problema 3, alínea b):

A partir da nota no final da página 2 do enunciado, sabe-se então que:

F_a\le\mu N.

Neste caso, N=N_2=P_2=m_2g.

Assim, F_a\le\mu m_2g.

De acordo com o diagrama de forças em que \vec{F}_{a_{1}} aponta no sentido positivo – direita – e \vec{F}_{a_{2}} no negativo - esquerda - (podíamos resolver o problema trocando estes dois sentidos), tem-se:
(Eq.1) T+F_a=m_1a_1

(Eq.2) T-F_a=m_2a_2

Sendo F_a=|\vec{F}_{a_{1}}|=|\vec{F}_{a_{2}}|.


Não havendo deslizamento, temos também que:
a_1=a_2=a (os dois blocos têm a mesma aceleração).

Logo, podemos escrever
(Eq.1) T+F_a=m_1a\Leftrightarrow F_a=m_1a-T

(Eq.2) T-F_a=m_2a\Leftrightarrow F_a=T-m_2a

Somando as duas equações obtemos uma equivalente (como num sistema de equações):
F_a=m_1a-T
+F_a=T-m_2a
_________________
2F_a=m_1a-m_2a


2F_a=m_1a-m_2a\Leftrightarrow F_a=\frac{a}{2}(m_1-m_2).


Voltando à inequação inicial:

\frac{a}{2}(m_1-m_2)\le\mu m_2g

am_1-am_2\le2\mu m_2g

am_1\le2\mu m_2g+am_2

am_1\le m_2(2\mu g+a)

\frac{m_1}{m_2}\le \frac{(2\mu g+a)}{a}

\frac{m_1}{m_2}\le 1+\frac{2\mu g}{a}

\frac{m_1}{m_2}-1\le \frac{2\mu g}{a}.


Como na alínea a seguir se demonstra, a=\frac{g}{2}, logo até temos

\frac{m_1}{m_2}-1\le 4\mu.
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Terça Jul 30, 2013 5:19 pm

Problema 3, alínea c):

Para além das eq.1 e eq.2, podemos também escrever:

(Eq.3) Mg-2T=(m_1+m_2)a\Leftrightarrow (m_1+m_2)g-2T=(m_1+m_2)a

Isto é a aplicação da Segunda Lei de Newton (F=ma) no caso da massa M que cai verticalmente como indicado no enunciado. Considera-se, como também referido no enunciado, que se trata da situação em que não há deslizamento de um bloco sobre o outro e estes possuem a mesma aceleração (também igual à da massa M, na vertical).

Somando a eq.1 e a eq.2:

T+F_a=m_1a
+T-F_a=m_2a
___________________
2T=(m_1+m_2)a

Ao substituirmos na eq.3:

(m_1+m_2)g-(m_1+m_2)a=(m_1+m_2)a\Leftrightarrow g-a=a\Leftrightarrow a=\frac{g}{2}.
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor catarina._3 em Quarta Jul 31, 2013 5:58 pm

E como é que fizeram o problema 1 (o da impulsão) ?
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Quarta Jul 31, 2013 9:16 pm

catarina._3 Escreveu:E como é que fizeram o problema 1 (o da impulsão) ?


Boa pergunta. Se não me engano, até é algo que é suposto darmos no 12º ano... É possível fazer alguns problemas das olimpíadas se nos derem algumas fórmulas ou se estiverem relacionados com o que damos na escola, mas existem uns que estranho muito poderem corresponder ao que é apresentado nesta página: C) CONTEÚDOS DAS PROVAS [...] ESCALÃO B: componente de Física dos programas completos das disciplinas da área de Físico-Químicas dos 10º e 11º anos.

Enfim, parece que não há nada que possamos fazer quanto a isso...


Também estou curiosa quanto ao problema 1. Se tiver tempo para aprender decentemente sobre o assunto, até me atrevo a tentar...
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor ajcoelho em Quarta Jul 31, 2013 9:52 pm

e_samarta Escreveu:
catarina._3 Escreveu:E como é que fizeram o problema 1 (o da impulsão) ?


Boa pergunta. Se não me engano, até é algo que é suposto darmos no 12º ano... É possível fazer alguns problemas das olimpíadas se nos derem algumas fórmulas ou se estiverem relacionados com o que damos na escola, mas existem uns que estranho muito poderem corresponder ao que é apresentado nesta página: C) CONTEÚDOS DAS PROVAS [...] ESCALÃO B: componente de Física dos programas completos das disciplinas da área de Físico-Químicas dos 10º e 11º anos.

Enfim, parece que não há nada que possamos fazer quanto a isso...


Também estou curiosa quanto ao problema 1. Se tiver tempo para aprender decentemente sobre o assunto, até me atrevo a tentar...


Amanha ou no fim de semana coloco aqui a minha resolução dele.
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor ajcoelho em Sábado Ago 03, 2013 2:04 am

Problema 1, a)

Ora bem, do que eu entendo do problema o esquema de forças é o que esta representado no diagrama abaixo.

Para que o que é pedido seja cumprido:

\vec{F}+\vec{P}+\vec{I}=0

[tex]F + mg = - I
F + mg = - P fluido deslocado
F + mg = - V_{p}\rho_{agua}g

V_{p} é o volume do paralelepípedo que esta efetivamente dentro de agua

Com g = 10 m/s^2 e a densidade da agua = 0.001 kg/dm^3

F = 2.99 N

PS: peço desculpa pelo latex e pelo desenho mas a esta hora nao dá pra estar com preciosimos :mock:
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Sábado Ago 03, 2013 12:01 pm

Eu tentei fazer parte do problema (fora da prova uma pessoa está muito mais relaxada!) mas, antes de mais, a densidade da água é aproximadamente 1\ kg/{dm}^3, certo? (Ou seja, 1\ kg/L.)

De qualquer maneira, concordo com o esquema (claro que sem contar com os preciosismos), embora tivesse escolhido um eixo 0y a apontar para cima (também não interessa muito).

Acho igualmente que \vec{F}+\vec{P}+\vec{I}=0, só que pensei mais em

F=I-P.

Isto porque a intensidade de \vec{I} será igual às de \vec{F} e \vec{P} somadas (isto é, I=F+P), acho eu...

Como (lembrando que \rho=\frac{m}{V}\Leftrightarrow m=\rho \times V):

I=\rho_{a\´gua}\times V_{a\´gua\ deslocada}\times g
P=\rho_{bloco}\times V_{bloco}\times g
e V_{a\´gua\ deslocada}=V_{bloco},

tem-se:

I=1\ kg/L \times 1\ L\times 10\ N/kg\Leftrightarrow I=10\ N

P=0,3\ kg/L \times 1\ L\times 10\ N/kg\Leftrightarrow P=3\ N.

Assim:
F=10-3\Leftrightarrow F=7N.


Não tenho a certeza absoluta disto, e a prova deve ter-te corrido melhor, mas acho um pouco estranho que te dê o valor (exato?) de 2.99.
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor ajcoelho em Sábado Ago 03, 2013 12:11 pm

e_samarta Escreveu:Eu tentei fazer parte do problema (fora da prova uma pessoa está muito mais relaxada!) mas, antes de mais, a densidade da água é aproximadamente 1\ kg/{dm}^3, certo? (Ou seja, 1\ kg/L.)


Sim, claro que é!
E o sinal também me enganei. Acho que queria por tudo do mesmo lado e igualar a zero e depois acabei por por o sinal correto mas no outro lado da equação.
Já fui ver com os resultados que tinha feito há alguns dias à mao e sim dá os tais 7N e não 2.99 :mock:
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Re: Prova Teórica Nacional 2013 (Escalão B)

Mensagempor ajcoelho em Domingo Ago 04, 2013 12:07 pm

e_samarta Escreveu:Problema 3, alínea b):

A partir da nota no final da página 2 do enunciado, sabe-se então que:

F_a\le\mu N.

Neste caso, N=N_2=P_2=m_2g.

Assim, F_a\le\mu m_2g.

De acordo com o diagrama de forças em que \vec{F}_{a_{1}} aponta no sentido positivo – direita – e \vec{F}_{a_{2}} no negativo - esquerda - (podíamos resolver o problema trocando estes dois sentidos), tem-se:
(Eq.1) T+F_a=m_1a_1

(Eq.2) T-F_a=m_2a_2

Sendo F_a=|\vec{F}_{a_{1}}|=|\vec{F}_{a_{2}}|.


Não havendo deslizamento, temos também que:
a_1=a_2=a (os dois blocos têm a mesma aceleração).

Logo, podemos escrever
(Eq.1) T+F_a=m_1a\Leftrightarrow F_a=m_1a-T

(Eq.2) T-F_a=m_2a\Leftrightarrow F_a=T-m_2a

Somando as duas equações obtemos uma equivalente (como num sistema de equações):
F_a=m_1a-T
+F_a=T-m_2a
_________________
2F_a=m_1a-m_2a

.....


Gostei da resolução e realmente esse método de soma é muito útil quando as equaçoes sao semelhantes. Poupa-se sempre tempo :mock:
Acho que nunca iria pensar nesta resolução ate porque nao consegui chegar aos g/2 na aceleração.
Fico sempre com uma expressão um pouco maior:

a=\frac{-2m_2gu}{m_2-m_1}

Isto porque o que faço é so resolver este sistema de equações (com fa=m2gu claro):

T+F_a=m_1a\Leftrightarrow F_a=m_1a-T

T-F_a=m_2a\Leftrightarrow F_a=T-m_2a

Nao sei mesmo qual é o meu erro mas ele tem de existir porque eu nem chego a precisar da tal terceira equação baseada no bloco M, a qual certamente faz falta :(
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