Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Assuntos relativos às Olimpíadas Nacionais de Física

Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Domingo Jun 02, 2013 3:54 pm

Este tópico tem como fim a discussão de alguns problemas da Prova Teórica Regional de 2013 (Escalão B).

Problema 2 (antes tinha sido colocada aqui):

e_samarta Escreveu:

Para que o bloco A não toque no plano inclinado, temos que F_a=P(A)_y

Porque o plano inclinado faz um ângulo de 30º com a horizontal, P(A)_y=P_y \cos30^\circ = m_A g \cos30^\circ


Por sua vez, N=P(A)_x + F(A), sendo F(A) a força resultante em A. [Obrigada pela correção, cdmfernandes!].

Então, N=m_A g \sin30^\circ + m_A \times a_x. Também pode ser N=m_A (g \sin30^\circ + a_x)


Porque F_a=\mu N, sendo \mu=0,3, tem-se, relembrando que F_a=P(A)_y:

0,3 m_A (g \sin30^\circ + a_x)=m_A g \cos30^\circ.

Isto permite "eliminar" m_A e após alguns passos chega-se a:

a_x\simeq 2,387 g (sendo g o módulo da aceleração da gravidade)


Finalmente, F=(m_A+m_B) a_x + P(A+B)_x\Leftrightarrow F=(m_A+m_B) 2,387 g + (m_A+m_B) g \sin30^\circ \Leftrightarrow F=g (m_A+m_B) (2,387 + 0,5)

Se considerarmos g\simeq9,8 m.s^{-2}, temos então F=9,8 \times 10 \times 2,887 \Leftrightarrow F\simeq283N.
Anexos
OdFteorica_B_reg2013-problema2.jpg
(Nota: O sistema de eixos representado pode não corresponder ao utilizado, mas aqui serve apenas para indicar a direção de cada um dos eixos)
OdFteorica_B_reg2013-problema2.jpg (16.89 KiB) Visualizado 3362 vezes
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Domingo Jun 02, 2013 5:18 pm

Problema 3, alínea a):

***EDIT*** RESOLUÇÃO EM PRINCÍPIO INCORRETA:

Se considerarmos t=0 o instante em que a máquina começa a lançar bolas de ténis, a primeira bola lançada atingirá a parede no instante t_1=\frac{x_1}{V}, sendo x_1 a distância inicial da máquina à parede no instante em que lança a primeira bola. (como se deduz a partir da expressão x=Vt).

Num instante T (decorridos T segundos a partir de t_1), estando a máquina a uma distância da parede igual a x_1+vT, esta lança a segunda bola, que irá chegar à parede no instante:

t_2=T + \frac{x_1+vT}{V}.

O tempo decorrido entre os sucessivos embates na parede será:

T_p=t_2 - t_1\LeftrightarrowT_p=(T + \frac{x_1+vT}{V}) - (\frac{x_1}{V})\LeftrightarrowT_p=T+\frac{vT}{V}\Leftrightarrow T_p=(\frac{V+v}{V})T

(O p em T_p corresponderá a "parede"; embora não tenha muito interesse, servirá para distingir T_p de T)


Frequência original: f=\frac{1}{T}

Frequência de embate na parede: f_p=\frac{1}{T_p}

Como T_p=(\frac{V+v}{V})T, T=\frac{1}{f} e T_p=\frac{1}{f_p}:

T_p=(\frac{V+v}{V}) \frac{1}{f} e então

\frac{1}{f_p}=(\frac{V+v}{V}) \frac{1}{f} \Leftrightarrow f_p=\frac{V}{V+v} f

Ou seja:
f=\frac{V+v}{V} f_p

Sendo assim, é possível concluir que a frequência original, f, é maior do que a frequência de embate, f_p.


RESOLUÇÃO CORRETA:

Seja v a velocidade do lançador (ou "máquina lançadora") e V a velocidade da bola em relação ao lançador.

Num período (T), o lançador recua uma distância vT.

Velocidade da bola: V-v

Logo, (relativamente à primeira bola), a segunda chega depois de um tempo:

T\prime=T + (\frac{vT}{V-v})=T(1+\frac{v}{V-v})=T(\frac{V-v+v}{V-v})=T(\frac{V}{V-v})


Sendo a frequência original f=\frac{1}{T} e a frequência de embate f\prime=\frac{1}{T\prime}, temos então:

\frac{1}{f\prime}=\frac{1}{f}(\frac{V}{V-v})\Leftrightarrow f=f\prime (\frac{V}{V-v})
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Domingo Jun 02, 2013 6:38 pm

Problema 3, alínea b):

***EDIT*** RESOLUÇÃO EM PRINCÍPIO INCORRETA:

Tendo sempre em conta a expressão (na sua generalidade) x=vt \Leftrightarrow t=\frac{x}{v}, conclui-se que, embatendo a bola na parede no instante t, foi lançada no instante t_0=t-\frac{x_t}{V}, sendo x_t a distância a que a máquina se encontrava da parede aquando do lançamento dessa bola. (Essa bola levou até \frac{x_t}{V} chegar à parede, por isso subtraímos esse número de segundos a t a fim de obtermos t_0).

Sendo \Delta t (que queremos calcular) igual a t-t_0, temos:

\Delta t=t-(t-\frac{x_t}{V})\Leftrightarrow \Delta t=\frac{x_t}{V}

Tendo em conta agora a expressão "ainda mais geral" \Delta x=v \Delta t \Leftrightarrow x_f-x_i=v(t_f-t_i), se a t=0 a máquina se encontrava encostada à parede (x_0=0) — "cortamos" x_i e t_i —, então:

x_t=v t_0\Leftrightarrow x_t=v(t-\frac{x_t}{V})

"Desenvolvendo" a expressão:

x_t=v(t-\frac{x_t}{V})\Leftrightarrow \frac{V x_t}{V}+\frac{v x_t}{V}=vt\Leftrightarrow (V+v)x_t=V v t\Leftrightarrow \frac{x_t}{V}=\frac{v t}{(V+v)}

Lembrando que \Delta t=\frac{x_t}{V}, temos finalmente:

\Delta t=\frac{v}{V+v} t


RESOLUÇÃO CORRETA:

Se uma bola anda \Delta t no ar então foi lançada da posição v(t-\Delta t) (pois t-\Delta t foi o instante em que foi lançada, igual à diferença entre o instante em que embate na parede e o intervalo de tempo que leva a deslocar-se da máquina até embater na parede) e andou a distância (V-v)\Delta t.

Logo

(V-v)\Delta t=v(t-\Delta t)\Leftrightarrow
\Leftrightarrow V\Delta t-v\Delta t=vt-v\Delta t\Leftrightarrow V\Delta t=vt \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \Delta t=\frac{vt}{V}


(Aqui considera-se o referencial da figura apresentada no enunciado, sendo que a parede se encontra a x=0.)
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor ajcoelho em Domingo Jun 02, 2013 7:45 pm

Gostei da tua resolução... Nao fiz desta forma e na alinea b por exemplo tens um fator de 1 que eu nao tenho. Tenho que ver isto melhor quando tiver mais tempo.

Em relação ao problema 1, podes postar aí só os resultados que obtiveste? :D
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Domingo Jun 02, 2013 8:16 pm

Problema 3, alínea c):

***EDIT*** RESOLUÇÃO EM PRINCÍPIO INCORRETA:

O movimento de uma bola de ténis, na vertical e até embater na parede, processa-se durante o intervalo de tempo \Delta t, que já tinha sido definido em função de t, o instante do embate da bola na parede:

\Delta t=\frac{v}{V+v} t

Normalmente temos a expressão y=h- \frac{1}{2} g t^{2}; no entanto, substitui-se t por \Delta t, e obtém-se:

y=h- \frac{1}{2} g (\frac{v}{V+v})^2 t^{2}

Por analogia com a expressão anterior, encontramos (acho eu) a aceleração com que este local de embate desce, g\prime:

g\prime=g (\frac{v}{V+v})^2


RESOLUÇÃO CORRETA (o processo é idêntico, mas antes não tinha usado o \Delta t correto):

Se quando uma bola bate no instante t ela andou no ar \Delta t=\frac{vt}{V}, a posição onde embate é

y=h-\frac{1}{2} g \Delta t^2=h-\frac{1}{2} g \frac{v^2}{V^2} t^2

a=g\frac{v^2}{V^2}

(Ou seja) a aceleração com que este ponto (o local de embate) se move (ou desce) é g\frac{v^2}{V^2}.
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Domingo Jun 02, 2013 8:22 pm

ajcoelho Escreveu:Gostei da tua resolução... Nao fiz desta forma e na alinea b por exemplo tens um fator de 1 que eu nao tenho.


Eu também não fiz desta forma nas olimpíadas... Como já referi algures, demoro imenso tempo a pensar sobre um problema, e mesmo agora ainda tenho algumas dúvidas! :roll:

ajcoelho Escreveu:Em relação ao problema 1, podes postar aí só os resultados que obtiveste? :D


Tenho de o resolver novamente. Assim que puder, apresento aqui os meus resultados...
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Domingo Jun 02, 2013 10:00 pm

Os resultados devem variar consoante as aproximações que cada um escolhe fazer. Aqui estão os valores que obtive:

Problema 1:

a) \theta_i =\theta_r=48,5^\circ e \theta_t \approx 84,3649^\circ

b) T \approx 70,85412^\circ C

c) \Delta T\approx 2015,3579s \approx 33min 35s
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor ajcoelho em Domingo Jun 02, 2013 11:05 pm

e_samarta Escreveu:Os resultados devem variar consoante as aproximações que cada um escolhe fazer. Aqui estão os valores que obtive:

Problema 1:

a) \theta_i =\theta_r=48,5^\circ e \theta_t \approx 84,3649^\circ

b) T \approx 70,85412^\circ C

c) \Delta T\approx 2015,3579s \approx 33min 35s


Exatamente o mesmo que eu :D
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor ajcoelho em Domingo Jun 02, 2013 11:10 pm

e_samarta Escreveu:
Por analogia com a expressão anterior, encontramos (acho eu) a aceleração com que este local de embate desce, g\prime:

g\prime=g (\frac{v}{V+v})^2


Aqui é uma questao de derivar :lol:
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Segunda Jun 03, 2013 9:22 am

ajcoelho Escreveu:
e_samarta Escreveu:
Por analogia com a expressão anterior, encontramos (acho eu) a aceleração com que este local de embate desce, g\prime:

g\prime=g (\frac{v}{V+v})^2


Aqui é uma questao de derivar :lol:


Não estás a dizer isso porque escrevi g\prime, pois não? Se calhar devia ter escrito a=g (\frac{v}{V+v})^2 ou usado outra letra...
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor ajcoelho em Segunda Jun 03, 2013 11:09 am

Não não. Mas é que tu já tens a equação da posição certo? Então se fizeres a segunda derivada da equação da leis das posições chegas à aceleração

\frac{d^2y}{dt^2} = a

:D
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Segunda Jun 03, 2013 11:43 am

Quando temos uma expressão do movimento retilíneo uniformemente acelerado do tipo

y=y_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2,

sabemos "automaticamente" que a aceleração desse movimento é precisamente a...

Efetivamente se derivar a expressão anterior vou ter: v=v_0 + at

E para a segunda derivada: a=a (um bocado desnecessário...)
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor ajcoelho em Segunda Jun 03, 2013 12:30 pm

Sim claro neste tipo de equações é totalmente desnecessário Disse só isto porque parecias estar com dúvidas ao dizeres " encontramos (acho eu) a aceleração" :D
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Segunda Jun 03, 2013 5:36 pm

ajcoelho Escreveu:Sim claro neste tipo de equações é totalmente desnecessário Disse só isto porque parecias estar com dúvidas ao dizeres " encontramos (acho eu) a aceleração" :D


Pois... Eu estou sempre com dúvidas! :lol:
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Re: Prova Teórica Regional 2013 (Escalão B)

Mensagempor e_samarta em Terça Jul 30, 2013 9:30 am

Problema 3, alínea d):

Se a máquina produzisse um som a velocidade com que se este se deslocava era constante e igual a V.

Logo T\prime=T+\frac{vT}{V}=T(1+\frac{v}{V})=T(\frac{v+V}{V})
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