Leis de Newton e de Conservação

por **robespierre** em Sexta Nov 20, 2009 2:41 pm

Bom dia professora,

energia $\frac{k}{2}(x_1-x_2)^2$

Só uma coisa: a energia da mola a que se refere é cinética, certo? A mola move-se? Há outro tipo de energia que não esteja aqui a detectar? Não me parece que a mola tenha energia potencial, portanto...só vejo que possa ser cinética.

por cp em Sexta Nov 20, 2009 3:22 pm

robespierre Escreveu:]
Só uma coisa: a energia da mola a que se refere é cinética, certo? A mola move-se?

Realmente fui pouco clara :oops:

Estou a considerar uma mola muito especial: não tem massa e tem comprimento zero quando não está deformada.
Só mesmo os físicos teóricos inventam estas molas

Ela ficará deformada quando as partículas se afastarem uma da outra, aumentando a energia potencial do sistema acumulada na deformação da mola e diminuindo a energia cinética das partículas.

Quando disse que a

energia da mola é $\frac{k}{2}(x_1-x_2)^2$

queria dizer que a energia potencial das duas partículas, por estarem ligadas pela mola, é dada por aquela expressão. Estará mais claro?

Sabes escrever a equação de movimento de cada uma das partículas? Basta usar a 2ª Lei de Newton com a força definida por
$F_i=-\frac{dV}{dx_i}$

por **robespierre** em Sexta Nov 20, 2009 8:40 pm

Boa noite professora,

O movimento é a uma dimensão. Seja que a força que actua sobre 1, F_1

, tenha sentido contrário ao do referencial e a que actua sobre 2, F_2

, tenha o sentido do referencial.

Pela lei de Hooke,

F_1=-k(x_1-x_2)

F_2=k(x_1-x_2)

Pela segunda lei de Newton, concluímos que

$a_1=-\frac{k}{m_1}(x_1-x_2)$
$a_2=\frac{k}{m_2}(x_1-x_2)$

$v_1=\int {a_1} {dt} = -\frac{k}{m_1} \int{(x_1-x_2)} {dt} + v_{01}$
$v_2=\int {a_2} {dt} = \frac{k}{m_2} \int{(x_1-x_2)} {dt}+v_{02}$

Este resultado é estranho porque v_1

vem-me em função de $\int({x_1-x_2})dt$ . Não consigo resolver a equação.

Analogamente,

$x_1= -\frac{k}{m_1} \int[\right{\int{(x_1-x_2){dt}}\left]{dt} + v_{01}t + x_{01}$
$x_2= \frac{k}{m_2} \int[\right{\int{(x_1-x_2)}{dt}}\left]{dt} + v_{02}t + x_{02}$

Nota: considerei x_1

,

,

, e

como as equações gerais do movimento para os corpos 1 e 2. Pelo contrário, a professora considerou ${x_1}$ a posição inicial de 1, que eu considerei $x_{01}$ , ${v_1}$ como a velocidade inicial de 1, etc. Não consegui encontrar notação melhor

por **robespierre** em Sexta Nov 20, 2009 8:53 pm

Como

de 1 é $-\frac{k}{2}(x_1-x_2)^2$ , então $\frac{dV}{dx}$ , que dá F_1

, devia dar, para que o meu resultado esteja certo, o que calculei, ou seja, -k(x_1-x_2)

Mas estou a ter dificuldades com a derivação. Obtemos que a derivada da energia potencial, aplicando a regra da derivação da função composta, é

$-k\frac{d(x_1-x_2)}{dx}$

Será isto igual a

-k(x_1-x_2)

, o valor que obtive para F_1

?

por cp em Sexta Nov 20, 2009 9:39 pm

olá João,

foste rápido! Não pedi tanto trabalho como o que fizeste

robespierre Escreveu:Pela segunda lei de Newton, concluímos que

$a_1=-\frac{k}{m_1}(x_1-x_2)$
$a_2=\frac{k}{m_2}(x_1-x_2)$

Muito bem

Sugestão: antes de dividires cada equação pela massa soma as equações e expressa o resultado em termos de quantidade de movimento.

Vais ver que obtens um resultado interessante

por cp em Sexta Nov 20, 2009 9:52 pm

robespierre Escreveu:Como de 1 é $-\frac{k}{2}(x_1-x_2)^2$ , então $\frac{dV}{dx}$ , que dá, devia dar, para que o meu resultado esteja certo, o que calculei, ou seja,

só precisamos de corrigir um pouco a linguagem...
A energia potencial do sistema formado pelas duas partículas é $E_p=V=\frac{k}{2}(x_1-x_2)^2$ (com um sinal +)

Para obteres da energia potencial a força exercida na partícula 1 basta calculares o simétrico da derivada de V em relação à coordenada para partícula 1
$F_1=-\frac{d V}{d x_1}$

robespierre Escreveu:Mas estou a ter dificuldades com a derivação. Obtemos que a derivada da energia potencial, aplicando a regra da derivação da função composta, é

$-k\frac{d(x_1-x_2)}{dx}$ ]

Quando fizeres a derivada deves derivar em ordem a x_1

(partícula 1) ou x_2

(partícula 2)
Se quiseres para a partícula 1

$F_1=-\frac{d V}{d x_1}=-k (x_1-x_2)\frac{d(x_1-x_2)}{dx_1}=-k(x_1-x_2)$
pois estou a considerar x_1

e

independentes.

Concordas?

por cp em Sexta Nov 20, 2009 9:59 pm

robespierre Escreveu:
Nota: considerei , , , e como as equações gerais do movimento para os corpos 1 e 2. Pelo contrário, a professora considerou ${x_1}$ a posição inicial de 1, que eu considerei $x_{01}$ , ${v_1}$ como a velocidade inicial de 1, etc. Não consegui encontrar notação melhor

A tua notação está bem clara

Eu não referi posições iniciais: apenas a posição num instante genérico

que designei, tal como tu, por x_1

para a partícula 1 e x_2

para a partícula 2.

Se queres integrar o teu sistema de equações o melhor é fazeres uma mudança de variáveis para

X=x_1+x_2

e

Uma das equações que terás de integrar é da forma
$\frac{d ^2x}{dt^2}+ \omega^2 x=0$

a solução desta equção diferencial é da forma $x=A \, cos(\omega t)$ . Experimenta...

por **robespierre** em Sexta Nov 20, 2009 10:05 pm

Olá professora,

Obrigado pela resposta.

Sugestão: antes de dividires cada equação pela massa soma as equações e expressa o resultado em termos de quantidade de movimento.

Temos que

como $F_1= \frac{d\vec p_1}{dt}$ = e $F_2= \frac{d\vec p_2}{dt}$ e como, pela equação acima, F_1=-F_2

$\frac{d\vec p_1}{dt}=- \frac{d\vec p_2}{dt}$

ou seja

$\frac{d\vec p_1}{dt} + \frac{d\vec p_2}{dt}=0$

Quando fizeres a derivada deves derivar em ordem a x_1 (partícula 1) ou x_2 (partícula 2)

Claro! Derivar em ordem a x nem faz sentido, pois nenhuma posição de qualquer partícula é dada por x :lol:

Nota: só agora vi o seu último post. Vou experimentar...

por cp em Sexta Nov 20, 2009 10:36 pm

robespierre Escreveu: $\frac{d\vec p_1}{dt} + \frac{d\vec p_2}{dt}=0$

e cá temos nós a famosa conservação de momento linear :hands:

Então, segundo Emmy Noether a energia do sistema deve ser invariante perante uma translação no espaço: $x_i \to x_i + a$

Será?

por **robespierre** em Sexta Nov 20, 2009 11:14 pm

Uma das equações que terás de integrar é da forma
$\frac{d ^2x}{dt^2}+ \omega^2 x=0$

a solução desta equação diferencial é da forma $x=A \, cos(\omega t).$ Experimenta...

Como

$x_1= -\frac{k}{m_1} \int[\right{\int{(x_1-x_2){dt}}\left]{dt} + v_{01}t + x_{01}$
$x_2= \frac{k}{m_2} \int[\right{\int{(x_1-x_2)}{dt}}\left]{dt} + v_{02}t + x_{02}$

Subtraindo as duas equações e fazendo x_1-x_2=x

; $v_{01}-v_{02}=v_0$ , obtém-se

$x= -2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}\int[\right{\int{x}{dt}}\left]{dt} + v_0t +x_0$

derivando em ordem ao tempo dos dois lados da equação obtemos,

$\frac{d^2x}{dt^2}= -2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}x$ ; a segunda derivada das velocidades iniciais e das posições iniciais é zero.

o que vai dar

$\frac{d^2x}{dt^2} +2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}x=0$

que é uma equação do tipo $\frac{d ^2x}{dt^2}+ \omega^2 x=0$ , considerando $\omega=\sqrt{2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}$ e x=x

Experimentei, no papel, e $x=A \, cos(\omega t)$ funciona mesmo, pois a segunda derivada de $cos(\omega t)$ é $-w^2A \, cos(\omega t)$ ,ou seja, -w^2 x

. Ficamos depois com $-\omega^2x+\omega^2x$ que dá 0

por cp em Sábado Nov 21, 2009 12:01 am

robespierre Escreveu:
$\frac{d^2x}{dt^2} +2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}x=0$

que é uma equação do tipo $\frac{d ^2x}{dt^2}+ \omega^2 x=0$ , considerando $\omega=\sqrt{2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}$ e x=x

e a invariãncia da energia perante uma translação? Já verificaste?

por **robespierre** em Sábado Nov 21, 2009 11:18 am

Olá professora,

Como

F_1=-k(x_1-x_2)

se transladarmos o sistema por um vector $\vec a$ de módulo

, então

como dantes. Aquelas equações acima ficam, portanto, iguais. Deduzimos a conservação do momento linear a partir daqui, portanto ela mantém-se.

Se integrarmos, para calcular a energia potencial, fica tudo o mesmo porque as equações são as mesma que antes. Quanto à energia cinética, as coisas também se mantêm, porque, como a energia mecânica se conserva e é igual nos dois casos, pois observa-se que a energia mecânica inicial é igual nos dois casos iniciais, e $\Delta E_p$ também se mantém igual, como E_c=E_m-E_p

, a energia cinética mantém-se igual também.

por cp em Sábado Nov 21, 2009 11:27 am

cp Escreveu:
Se queres integrar o teu sistema de equações o melhor é fazeres uma mudança de variáveis para

e

Esta não é na verdade a transformação mais adequada: só se m_1=m_2

Seja

. A transformação mais adequada é
x=x_1-x_2

$X=\frac{m_1}{M} x_1+\frac{m_2}{M} x_2$

Obtemos para $x_1, \, x_2$
$x_1=X+\frac{m_2}{M} x$
$x_2=X-\frac{m_1}{M} x$

Em termos de $X, \, x$ as equações de movimento reduzem-se a
$M\frac{d^2X}{dt^2}=0$
$\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{M}{m_1\, m_2} k\,x =0$

Obtive $\omega^2=\frac{M}{m_1\, m_2} k$

que é metade do valor que obtiveste. Acho que o problema está em

robespierre Escreveu:
$x= -2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}\int[\right{\int{x}{dt}}\left]{dt} + v_0t +x_0$

Não será que o factor 2 está a mais? :roll:

por **robespierre** em Sábado Nov 21, 2009 1:24 pm

$x= -2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}\int[\right{\int{x}{dt}}\left]{dt} + v_0t +x_0$

Não será que o factor 2 está a mais?

Sim, está, tinha-me enganado a fazer as contas. É que realmente inicialmente fiz as contas fazendo m_1=m_2=m

e só depois reparei que não era assim, mas não corrigi bem.

Uma dúvida, como é que a professora chegou aqui

$M\frac{d^2X}{dt^2}=0$

por cp em Sábado Nov 21, 2009 4:22 pm

robespierre Escreveu:Uma dúvida, como é que a professora chegou aqui

$M\frac{d^2X}{dt^2}=0$

Das equações de movimento para as partículas 1 e 2
$m_1 \frac{d^2x_ 1}{dt^2}=-k(x_1-x_2)$
$m_2 \frac{d^2x_ 2}{dt^2}=k(x_1-x_2)$

Fazendo a mudança de variáveis

$X=\frac{m_1}{M} x_1+\frac{m_2}{M} x_2$

Obtemos para $x_1, \, x_2$
$x_1=X+\frac{m_2}{M} x$
$x_2=X-\frac{m_1}{M} x$

As equações em termos das novas variáveis escrevem-se
$m_1 \left(\frac{d^2X}{dt^2}+\frac{m_2}{M} \frac{d^2 x}{dt^2}\right) =-k\,x$
$m_2 \left(\frac{d^2X}{dt^2}-\frac{m_1}{M} \frac{d^2 x}{dt^2}\right) =k\, x$

somando membro a membro
$(m_1+m_2)\frac{d^2X}{dt^2} +0 =0$

dividindo a primeira equação por m_1

e a segunda por m_2

e subtraindo membro a membro
$0+\frac{m_2+m_1}{M} \frac{d^2 x}{dt^2}= -k\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2} \right) x$

ou ainda

$\frac{d^2 x}{dt^2}= -k\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} x$

fica fácil com estes truques de somar e subtrair as equações ...

Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Re: Leis de Newton e de Conservação

Quem está ligado