Leis de Newton e de Conservação

por **robespierre** em Sábado Nov 21, 2009 6:02 pm

Bom dia professora,

Já percebi. Realmente é mais fácil do que ter de andar a substituir as equações todas.

por cp em Sábado Nov 21, 2009 6:56 pm

Voltando à equação

$M\frac{d^2X}{dt^2}=0$

Esta equação traduz a conservação de quantidade de movimento. Vou reescrevê-la numa forma mais transparente substituindo

pela sua definição
$M\frac{d^2X}{dt^2}=0 \to \frac{d^2 (m_1 x_1+m_2 x_2)}{dt^2}=0 \to \frac{d}{dt} \left(m_1 v_1+m_2v_2\right)=0$

Definindo a quantidade de movimento total do sistema $\vec P=\vec p_1+ \vec p_2$ temos
$\frac{d P}{dt}=0$ (como estamos a considerar o movimento unidimensional o sinal $\vec\phantom{.}$ não é necessário.

Ora, segundo Emmy Noether se $\vec P$ se conserva a energia do sistema deve ser invariante perante uma translação no espaço.
Vamos ver que assim é. Consideremos uma translação de

Temos para as posições
$\bar x_1=x_1+a$ e $\bar x_2=x_2+a$
e para as velocidades
$\bar v_1=v_1$ e $\bar v_2=v_2$

Subsitutindo na energia do sistema
$E=\frac{1}{2}m_1 v^2_1+ \frac{1}{2}m_2 v^2_2+ \frac{1}{2}k(x_1-x_2)^2$
temos com $\bar x_1-\bar x_2=x_1-x_2$
$\bar E=\frac{1}{2}m_1 {\bar v}^2_1+ \frac{1}{2}m_2 {\bar v}^2_2+\frac{1}{2} k(\bar x_1-\bar x_2)^2=E$

ou

$\bar E=E$

Também podemos explorar o significado da conservação da energia partindo deste exemplo. Fica para amanhã

por **robespierre** em Sábado Nov 21, 2009 9:46 pm

Olá professora,

Essa notação torna mais fácil chegar à conclusão de que a energia se conserva. Tinha tentado dizer o mesmo aqui, mas reparei agora que faltavam palavras ao texto que o tornavam incompreensível.

por **jap** em Domingo Nov 22, 2009 5:54 pm

A invariância por translação no espaço está intimamente ligada à conservação do momento linear. A partir da primeira podem chegar à segunda por argumentos muito simples - sugiro a leitura da lição de R.P.Feynmann no 1º volume das suas lectures sobre o assunto. A partir de experiências pensadas de colisões de carrinhos, vistas por dois observadores inerciais, um deles parado em relação ao "laboratório" onde se dá a colisão, outro em movimento rectilíneo uniforme a "acompanhar a colisão", chega-se, partindo de umas hipóteses muito gerais e básicas, à conclusão de que a quantidade de movimento no choque tem mesmo de se conservar! :hands:

É muito giro, recomendo vivamente a leitura desse capítulo do famoso livro. :wink:

por cp em Domingo Nov 22, 2009 11:45 pm

Acho que vou ter de voltar a ler os livros do Feynman!

Para Emmy Noether a conservação de energia está associada à simetria de translação no tempo. Como a lei da conservação da energia está muito bem testada experimentalmente a todos os níveis, as leis da natureza devem ser invariantes perante translações no tempo.

Considerando o nosso sistema fechado de duas partículas ligadas por uma mola: é fácil verificar que a energia é uma constante do movimento. Basta calcular a derivada da energia em ordem ao tempo e verificar que é nula. (Será necessário calcular derivadas compostas: derivar a energia em ordem às posições e velocidades e multiplicar pela derivada destas em ordem ao tempo...).

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