Leis de Newton e de Conservação

por cp em Terça Nov 10, 2009 1:50 pm

Olá João,

na verdade o que sucede é que o pião realmente pára, logo a sua quantidade de movimento é nula $\vec p_\pi=0$ .
O pião não é uma partícula estável: tem um tempo médio de vida da ordem de 2.6×10 $^{-8}$ s. Consideremos um pião carregando positivamente ( $\pi^+$ ): ele pode decair num muão positivo ( $\mu^+$ ) e num neutrino do muão ( $\nu_\mu$ ). Este decaimento pode ser traduzido por uma equação
$\pi^+ \to \mu^+ +\nu_\mu$
O neutrino não tem carga eléctrica e por isso não deixa um trajectória na emulsão. Mas nós sabemos que foi emitido senão o muão não poderia tem uma quantidade de movimento não nula: Devemos ter
$\vec p_\pi= \vec p_\mu + \vec p_\nu$
Como
$\vec p_\pi= o$
também temos
$\vec p_\mu + \vec p_\nu=0$
As imagens mostram que o muão também decai numa partícula carregada, o positrão e^+

, e numa neutra, o neutrino do electrão $\nu_e.$
Se além da lei de conservação da quantidade de movimento também usarmos a lei de conservação da energia podemos determinar a energia e quantidade de movimento do muão e do neutrino do muão! Sabes como?

Como podes ver as leis de conservação são essenciais para entendermos o mundo subatómico! Posso te dizer que a existência do neutrino foi proposta porque senão a energia não se conservava. E também é interessante descobrir como é que a Emmy Noether entendia a conservação da quantidade de movimento.

um abraço,
cp

por **robespierre** em Quinta Nov 12, 2009 12:06 am

Olá professora,

Bem, chego outra vez a resultados estranhos...

Pela equação das quantidades de movimento que a professora deduziu concluo que os momentos lineares do muão e do neutrino do muão são simétricos. Como a energia se conserva (apenas há energias cinéticas certo?):

$E_C\pi=E_C\mu + E_C\nu$

Como a energia cinética do pião é nula quando este pára, então as energias cinéticas do muão e do neutrino também serão simétricas. Basta uma dimensão para descrever o movimento portanto tratamos a velocidade como uma grandeza escalar. Vou então obter o estranho resultado que as velocidades são iguais mas as massas é que são simétricas. Deve haver energias potenciais por aí escondidas, mas não estou a ver onde!

por **jcarlos** em Quinta Nov 12, 2009 9:01 am

Só uma breve achega: os detectores de emulsão detectam apenas partículas carregadas electricamente. O que é que acontece às que são neutras, como os fotões, neutrões, etc.? São invisíveis na emulsão! São necessários outros tipos de detectores para as "ver". :wink:

por cp em Quinta Nov 12, 2009 9:14 am

olá João,

tens toda a razão: as quantidades de movimento do muão e do neutrino do muão são simétricas.

Quando falamos de conservação de energia em Física das Partículas temos de entender a energia no sentido proposto por Einstein: a massa também contribui para a energia. Assim a tua equação que traduz a conservação de energia não está completa: para cada partícula falta a contribuição da massa, m c^2

, onde $c=3 \times 10^8$ m/s é a velocidade da luz. Se fizeres isto já não tens o resultado estranho que obtiveste. Posso dar-te as massas destas partículas
$m_\pi c^2=140$ MeV
$m_\mu c^2=105.7$ MeV
$m_{\nu_\mu} c^2<0.27$ MeV
Para o neutrino do muão apenas existe um limite superior.
Em física nuclear e partículas indicamos a energia em MeV (mega electrão Volt) por ser mais conveniente. 1MeV $=1.6 \times 10^{-13}$ J. A massa é expressa em unidades de MeV/ c^2

(

é uma energia) e a quantidade de movimento em MeV/c (

é uma energia). Torna os cálculos todos mais simples. E já agora só mais um ponto: se a energia cinética é semelhante ou maior que a energia correspondente à massa deves usar a expressão relativista para a energia
$E =mc^2+ E_C= mc^2+ \frac{p^2}{2m}$ (não relativista)
$E =mc^2+ E_C= mc^2+\left[\sqrt{(mc^2)^2+ (pc)^2}- mc^2\right]$ (relativista)
Experimenta a usar a expressão não relativista e determina a energia cinética do muão e do neutrino. Analisa os teus resultados e verifica se deverias tratar alguma das duas partículas relativisticamente.

Fico à espera dos teus resultados!

um abraço,
Constança

por **robespierre** em Quinta Nov 12, 2009 7:34 pm

Boa noite professora,

Se $m_\pi c^2=140 MeV$ , então $m_\pi=140 MeV/c^2$ e $p_\pi=140 MeV/c$ . Certo? Confirmei na wikipedia e parece estar bem. Realmente os cálculos assim ficam mais simples.

Seja X a energia correspondente à massa de uma partícula em MeV. Como, nas unidades usadas, os valores da quantidade de movimento e da massa são iguais ao da energia correspondente à massa, pela equação

$E =mc^2+ E_C= mc^2+ \frac{p^2}{2m}$ (não relativista)

Obtemos que,
E= X + (X^2/2)

, o que vai dar E= X + (1/2) X

Usando a expressão relativista e o mesmo raciocínio,

$E=X - (\sqrt{(X^2 + X^2)} - X)$ , o que vai dar $E= X(2-\sqrt{(2)})$

Portanto, dado que a energia correspondente à massa será sempre o dobro da cinética, concluo que é preferível usar a expressão relativística.

A energia cinética do muão será 43,7 Mev (pelo método não-relativístico seria 52,5 Mev) e a do neutrino será 0,11 MeV (0,135 pelo outro método).

por cp em Quinta Nov 12, 2009 9:52 pm

olá João,

sim a massa do pião é $m_\pi=140 MeV/c^2$ mas o momento linear do pião não é constante! Depende da sua velocidade! Aliás o que discutimos é que o pião pára antes de decair e por isso tem $\vec p_\pi=0$ ! Esta é a única quantidade de movimento que conheces: desconheces $\vec p_\mu$ e $\vec p_{\nu_\mu}$ . Mas tens duas equações:
uma para a conservação da quantidade de movimento e outra para a conservação da energia:
$\vec p_\pi=\vec p_\mu+\vec p_{\nu_\mu}$ (de onde concluíste que $\vec p_\mu=-\vec p_{\nu_\mu}$ )
$E_\pi=E_\mu+E_{\nu_\mu} \to m_\pi c^2=m_\mu c^2+ E_{C\mu} + m_{\nu_\mu} c^2+ E_{C\nu}$

Com duas equações e duas incógnitas consegues obter o resultado pois conheces as três massas...
Fico à espera!

Durante o fim de semana mostro-te como a lei da conservação da energia levou à descoberta do neutrino...

um abraço,
cp

por **robespierre** em Quinta Nov 12, 2009 11:35 pm

Boa noite professora,

momento linear do pião não é constante! Depende da sua velocidade!

Oops, erro de palmatória. Fiquei distraído com as novas unidades e escrevi sem pensar!

Resolvi o sistema usando a expressão não-relativista para a energia cinética. Obtenho que a quantidade de movimento do muão é 4,28 MeV/c

e que a do neutrino é, consequentemente, -4,28MeV/c.

. Os sinais + e - só indicam que o neutrino vai para um lado e o muão para o outro porque escolhi um referencial xx com a direcção do movimento mas com o sentido ao calhas.

A energia cinética do muão será, portanto, 105,8 MeV, um valor muitíssimo próximo do da energia ligada à massa. Portanto, neste caso, a energia cinética não relativista é uma boa aproximação. No caso do neutrino obtenho que a energia cinética é 34,19 MeV. Como a energia ligada à massa do neutrino é muito menor (0,27 MeV), devo usar a expressão relativística para melhor aproximação. O sistema relativístico parece-me mais trabalhoso e já não é cedo... vou resolvê-lo amanhã na minha aula de área de projecto. Amanhã logo ao início da tarde, quando sair das aulas, deixo aqui os resultados obtidos.

Esta semana tive algum trabalho escolar e não fui muito rápido a responder. Espero melhorar!

Obrigado pela sua simpática ajuda.

por cp em Sexta Nov 13, 2009 9:17 am

Resolvi o sistema usando a expressão não-relativista para a energia cinética. Obtenho que a quantidade de movimento do muão é e que a do neutrino é, consequentemente, . Os sinais + e - só indicam que o neutrino vai para um lado e o muão para o outro porque escolhi um referencial xx com a direcção do movimento mas com o sentido ao calhas.

Muito bem! :hands:

A energia cinética do muão será, portanto, 105,8 MeV,

Na verdade esta é a energia total $E_\mu=m_\mu c^2+ \frac{P^2_\mu}{2m_\mu}$ . Como tu dizes é muito próxima da energia ligada à massa e por isso a energia cinética não relativisita pode ser usada.

No caso do neutrino obtenho que a energia cinética é 34,19 MeV.

Esta também é a energia total do neutrino $E_{\nu_\mu}=m_{\nu_\mu} c^2+ E_{C,\nu_\mu}$ e tal como indicas o neutrino tem de ser tratado relativisticamente porque a sua energia total é muito superior à sua massa!

Espero que estes exemplos sirvam para mostrar a importância das leis de conservação em Física!

um abraço,
cp

por **robespierre** em Domingo Nov 15, 2009 5:54 pm

Olá professora,

A energia cinética do muão será, portanto, 105,8 MeV,

Na verdade esta é a energia total E_\mu=m_\mu c^2+ \frac{P^2_\mu}{2m_\mu}. Como tu dizes é muito próxima da energia ligada à massa e por isso a energia cinética não relativisita pode ser usada.

Era isso que eu queria dizer, precipitei-me...

Resolvendo o novo sistema, a quantidade de movimento deu-me 65,0 MeV/c, o que é bastante diferente do valor antigo. Devo-me ter enganado nas contas mas a verdade é que já as revi algumas vezes

Foi pena o servidor ter falhado

por **jap** em Domingo Nov 15, 2009 6:41 pm

robespierre Escreveu:(...)
Foi pena o servidor ter falhado

O muito fiável servidor algol não falhou (já ia com mais de meio ano de uptime! :hands:

), houve isso sim um corte de electricidade durante todo o dia de sábado...

por **robespierre** em Domingo Nov 15, 2009 7:48 pm

O muito fiável servidor algol não falhou (já ia com mais de meio ano de uptime! ), houve isso sim um corte de electricidade durante todo o dia de sábado...

Enganei-me: foi a minha maneira de dizer que as coisas não funcionaram. :wink:

por **jap** em Domingo Nov 15, 2009 7:54 pm

robespierre Escreveu:
O muito fiável servidor algol não falhou (já ia com mais de meio ano de uptime! ), houve isso sim um corte de electricidade durante todo o dia de sábado...

Enganei-me: foi a minha maneira de dizer que as coisas não funcionaram.

No problem!

O algol não costuma ficar ofendido com esses reparos! :lol:

por cp em Domingo Nov 15, 2009 9:44 pm

olá João,

e penso que nos próximos 4 sábados vamos ter a mesma cena repetida, infelizmente...

Pois estive a fazer as contas e não obtive 65 MeV/c mas 30.1 MeV/c. Penso que está certo pois refiz a conta:
$140=\sqrt{p^2+105.7^2}+\sqrt{p^2+0.27^2}$ Fiz todos os 'c' iguais a 1 o que dá muito jeito. No final escrevem-se os resultados com as unidades correctas acrescentado os 'c' que faltam...
Isolei uma das raizes quadradas num membro da equação e elevei ao quadrado. Simplifiquei e voltei a isolar a raiz quadrada que restava num membro e a elevar ao quadrado ambos os membros.

E voltando à história dos neutrinos e da conservação de energia deixo-te na próxima mensagem um pouco de história e um outro desafio.

um abraço,
cp

por **robespierre** em Domingo Nov 15, 2009 10:26 pm

Boa noite professora,

$140=\sqrt{p^2+105.7^2}+\sqrt{p^2+0.27^2}$

Resolvendo este sistema realmente vai dar p=30,1 MeV/c

.

Mas repare que a expressão inicial é:

$E_\pi=E_\mu+E_{\nu_\mu} \to m_\pi c^2=m_\mu c^2+ E_{C\mu} + m_{\nu_\mu} c^2+ E_{C\nu}$

Portanto,

$140=105.7-(\sqrt{105.7^2 + p^2}-105.7)+0,27-(\sqrt{0.27^2+p^2}-0.27)$

o que vai dar

$140= 105.7+105.7+0.27+0.27-\sqrt{105.7^2+p^2}-\sqrt{0.27^2+p^2}$

o que vai dar

$71.94=\sqrt{p^2+105.7^2}+\sqrt{p^2+0.27^2}$

que é diferente de

$140=\sqrt{p^2+105.7^2}+\sqrt{p^2+0.27^2}$

A diferença vem portanto daqui.

Fico então à espera do próximo desafio

por cp em Domingo Nov 15, 2009 10:46 pm

Mas repare que a expressão inicial é:

$E_\pi=E_\mu+E_{\nu_\mu} \to m_\pi c^2=m_\mu c^2+ E_{C\mu} + m_{\nu_\mu} c^2+ E_{C\nu}$

Portanto,

$140=105.7-(\sqrt{105.7^2 + p^2}-105.7)+0,27-(\sqrt{0.27^2+p^2}-0.27)$

O problema foi aqui! Esta última equação deveria ser
$140=105.7+(\sqrt{105.7^2 + p^2}-105.7)+0,27+(\sqrt{0.27^2+p^2}-0.27)$
já que a enegira cinética é $\sqrt{m^2c^4+ p^2 c^2}- mc^2$ . Aqueles dois sinais '-' estavam a mais...

Concordas?
o desafio segue na próxima...
cp

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