Leis de Newton e de Conservação

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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor robespierre em Sexta Nov 20, 2009 2:41 pm

Bom dia professora,

energia\frac{k}{2}(x_1-x_2)^2


Só uma coisa: a energia da mola a que se refere é cinética, certo? A mola move-se? Há outro tipo de energia que não esteja aqui a detectar? Não me parece que a mola tenha energia potencial, portanto...só vejo que possa ser cinética.
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor cp em Sexta Nov 20, 2009 3:22 pm

robespierre Escreveu:]
Só uma coisa: a energia da mola a que se refere é cinética, certo? A mola move-se?


Realmente fui pouco clara :oops:
Estou a considerar uma mola muito especial: não tem massa e tem comprimento zero quando não está deformada.
Só mesmo os físicos teóricos inventam estas molas :D
Ela ficará deformada quando as partículas se afastarem uma da outra, aumentando a energia potencial do sistema acumulada na deformação da mola e diminuindo a energia cinética das partículas.

Quando disse que a

energia da mola é \frac{k}{2}(x_1-x_2)^2


queria dizer que a energia potencial das duas partículas, por estarem ligadas pela mola, é dada por aquela expressão. Estará mais claro?

Sabes escrever a equação de movimento de cada uma das partículas? Basta usar a 2ª Lei de Newton com a força definida por
F_i=-\frac{dV}{dx_i}
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor robespierre em Sexta Nov 20, 2009 8:40 pm

Boa noite professora,

O movimento é a uma dimensão. Seja que a força que actua sobre 1, F_1, tenha sentido contrário ao do referencial e a que actua sobre 2, F_2, tenha o sentido do referencial.

Pela lei de Hooke,

F_1=-k(x_1-x_2)

F_2=k(x_1-x_2)

Pela segunda lei de Newton, concluímos que

a_1=-\frac{k}{m_1}(x_1-x_2)
a_2=\frac{k}{m_2}(x_1-x_2)


v_1=\int {a_1} {dt} = -\frac{k}{m_1} \int{(x_1-x_2)} {dt} + v_{01}
v_2=\int {a_2} {dt} = \frac{k}{m_2} \int{(x_1-x_2)} {dt}+v_{02}

Este resultado é estranho porquev_1 vem-me em função de \int({x_1-x_2})dt. Não consigo resolver a equação.

Analogamente,

x_1= -\frac{k}{m_1} \int[\right{\int{(x_1-x_2){dt}}\left]{dt} + v_{01}t + x_{01}
x_2= \frac{k}{m_2} \int[\right{\int{(x_1-x_2)}{dt}}\left]{dt} + v_{02}t + x_{02}

Nota: considerei x_1, x_2, v_1, e v_2 como as equações gerais do movimento para os corpos 1 e 2. Pelo contrário, a professora considerou {x_1} a posição inicial de 1, que eu considereix_{01}, {v_1}como a velocidade inicial de 1, etc. Não consegui encontrar notação melhor :(
última vez editado por robespierre s Sexta Nov 20, 2009 9:06 pm, editado 5 vezes no total
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor robespierre em Sexta Nov 20, 2009 8:53 pm

Como E_p de 1 é -\frac{k}{2}(x_1-x_2)^2, então \frac{dV}{dx}, que dáF_1, devia dar, para que o meu resultado esteja certo, o que calculei, ou seja, -k(x_1-x_2)

Mas estou a ter dificuldades com a derivação. Obtemos que a derivada da energia potencial, aplicando a regra da derivação da função composta, é

-k\frac{d(x_1-x_2)}{dx}

Será isto igual a

-k(x_1-x_2) , o valor que obtive para F_1?
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor cp em Sexta Nov 20, 2009 9:39 pm

olá João,

foste rápido! Não pedi tanto trabalho como o que fizeste :F

robespierre Escreveu:Pela segunda lei de Newton, concluímos que

a_1=-\frac{k}{m_1}(x_1-x_2)
a_2=\frac{k}{m_2}(x_1-x_2)


Muito bem :hands:
Sugestão: antes de dividires cada equação pela massa soma as equações e expressa o resultado em termos de quantidade de movimento.

Vais ver que obtens um resultado interessante :F
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor cp em Sexta Nov 20, 2009 9:52 pm

robespierre Escreveu:Como E_p de 1 é -\frac{k}{2}(x_1-x_2)^2, então \frac{dV}{dx}, que dáF_1, devia dar, para que o meu resultado esteja certo, o que calculei, ou seja, -k(x_1-x_2)


só precisamos de corrigir um pouco a linguagem...
A energia potencial do sistema formado pelas duas partículas é E_p=V=\frac{k}{2}(x_1-x_2)^2 (com um sinal +)

Para obteres da energia potencial a força exercida na partícula 1 basta calculares o simétrico da derivada de V em relação à coordenada para partícula 1
F_1=-\frac{d V}{d x_1}

robespierre Escreveu:Mas estou a ter dificuldades com a derivação. Obtemos que a derivada da energia potencial, aplicando a regra da derivação da função composta, é

-k\frac{d(x_1-x_2)}{dx}]


Quando fizeres a derivada deves derivar em ordem a x_1 (partícula 1) ou x_2 (partícula 2)
Se quiseres para a partícula 1

F_1=-\frac{d V}{d x_1}=-k (x_1-x_2)\frac{d(x_1-x_2)}{dx_1}=-k(x_1-x_2)
pois estou a considerar x_1 e x_2 independentes.

Concordas?
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor cp em Sexta Nov 20, 2009 9:59 pm

robespierre Escreveu:
Nota: considerei x_1, x_2, v_1, e v_2 como as equações gerais do movimento para os corpos 1 e 2. Pelo contrário, a professora considerou {x_1} a posição inicial de 1, que eu considereix_{01}, {v_1}como a velocidade inicial de 1, etc. Não consegui encontrar notação melhor :(


A tua notação está bem clara :)
Eu não referi posições iniciais: apenas a posição num instante genérico t que designei, tal como tu, por x_1 para a partícula 1 e x_2 para a partícula 2.

Se queres integrar o teu sistema de equações o melhor é fazeres uma mudança de variáveis para

X=x_1+x_2 e x=x_1-x_2

Uma das equações que terás de integrar é da forma
\frac{d ^2x}{dt^2}+ \omega^2 x=0

a solução desta equção diferencial é da forma x=A \, cos(\omega t). Experimenta...
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor robespierre em Sexta Nov 20, 2009 10:05 pm

Olá professora,

Obrigado pela resposta.

Sugestão: antes de dividires cada equação pela massa soma as equações e expressa o resultado em termos de quantidade de movimento.


Temos que

F_1=-k(x_1-x_2)
F_2=k(x_1-x_2)

como F_1= \frac{d\vec p_1}{dt}= e F_2= \frac{d\vec p_2}{dt} e como, pela equação acima, F_1=-F_2

\frac{d\vec p_1}{dt}=- \frac{d\vec p_2}{dt}

ou seja

\frac{d\vec p_1}{dt} + \frac{d\vec p_2}{dt}=0

Quando fizeres a derivada deves derivar em ordem a x_1 (partícula 1) ou x_2 (partícula 2)


Claro! Derivar em ordem a x nem faz sentido, pois nenhuma posição de qualquer partícula é dada por x :lol:

Nota: só agora vi o seu último post. Vou experimentar...
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor cp em Sexta Nov 20, 2009 10:36 pm

robespierre Escreveu:\frac{d\vec p_1}{dt} + \frac{d\vec p_2}{dt}=0


e cá temos nós a famosa conservação de momento linear :hands:

Então, segundo Emmy Noether a energia do sistema deve ser invariante perante uma translação no espaço: x_i \to x_i + a

Será?
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor robespierre em Sexta Nov 20, 2009 11:14 pm

X=x_1+x_2 e x=x_1-x_2

Uma das equações que terás de integrar é da forma
\frac{d ^2x}{dt^2}+ \omega^2 x=0

a solução desta equação diferencial é da forma x=A \, cos(\omega t). Experimenta...


Como

x_1= -\frac{k}{m_1} \int[\right{\int{(x_1-x_2){dt}}\left]{dt} + v_{01}t + x_{01}
x_2= \frac{k}{m_2} \int[\right{\int{(x_1-x_2)}{dt}}\left]{dt} + v_{02}t + x_{02}

Subtraindo as duas equações e fazendo x_1-x_2=x ; v_{01}-v_{02}=v_0 , obtém-se

x= -2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}\int[\right{\int{x}{dt}}\left]{dt} + v_0t +x_0


derivando em ordem ao tempo dos dois lados da equação obtemos,

\frac{d^2x}{dt^2}= -2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}x ; a segunda derivada das velocidades iniciais e das posições iniciais é zero.

o que vai dar

\frac{d^2x}{dt^2} +2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}x=0

que é uma equação do tipo \frac{d ^2x}{dt^2}+ \omega^2 x=0 , considerando \omega=\sqrt{2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}} e x=x :D

Experimentei, no papel, e x=A \,  cos(\omega t) funciona mesmo, pois a segunda derivada de cos(\omega t) é -w^2A \,  cos(\omega t),ou seja, -w^2 x. Ficamos depois com-\omega^2x+\omega^2x que dá 0
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor cp em Sábado Nov 21, 2009 12:01 am

robespierre Escreveu:
\frac{d^2x}{dt^2} +2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}x=0

que é uma equação do tipo \frac{d ^2x}{dt^2}+ \omega^2 x=0 , considerando \omega=\sqrt{2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}} e x=x :D


:hands:

e a invariãncia da energia perante uma translação? Já verificaste?
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor robespierre em Sábado Nov 21, 2009 11:18 am

Olá professora,

Como

F_1=-k(x_1-x_2)
F_2=k(x_1-x_2)

se transladarmos o sistema por um vector \vec a de módulo a , entãox=x_1+a-x_2-a=x_1-x_2como dantes. Aquelas equações acima ficam, portanto, iguais. Deduzimos a conservação do momento linear a partir daqui, portanto ela mantém-se.

Se integrarmos, para calcular a energia potencial, fica tudo o mesmo porque as equações são as mesma que antes. Quanto à energia cinética, as coisas também se mantêm, porque, como a energia mecânica se conserva e é igual nos dois casos, pois observa-se que a energia mecânica inicial é igual nos dois casos iniciais, e \Delta E_p também se mantém igual, como E_c=E_m-E_p, a energia cinética mantém-se igual também.
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor cp em Sábado Nov 21, 2009 11:27 am

cp Escreveu:
Se queres integrar o teu sistema de equações o melhor é fazeres uma mudança de variáveis para

X=x_1+x_2 e x=x_1-x_2



Esta não é na verdade a transformação mais adequada: só se m_1=m_2

Seja M=m_1+m_2. A transformação mais adequada é
x=x_1-x_2
X=\frac{m_1}{M} x_1+\frac{m_2}{M} x_2

Obtemos para x_1, \, x_2
x_1=X+\frac{m_2}{M} x
x_2=X-\frac{m_1}{M} x

Em termos de X, \, x as equações de movimento reduzem-se a
M\frac{d^2X}{dt^2}=0
\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{M}{m_1\, m_2} k\,x =0

Obtive \omega^2=\frac{M}{m_1\, m_2} k

que é metade do valor que obtiveste. Acho que o problema está em

robespierre Escreveu:
x= -2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}\int[\right{\int{x}{dt}}\left]{dt} + v_0t +x_0


Não será que o factor 2 está a mais? :roll:
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor robespierre em Sábado Nov 21, 2009 1:24 pm

x= -2\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}\int[\right{\int{x}{dt}}\left]{dt} + v_0t +x_0



Não será que o factor 2 está a mais? :roll:


Sim, está, tinha-me enganado a fazer as contas. É que realmente inicialmente fiz as contas fazendo m_1=m_2=me só depois reparei que não era assim, mas não corrigi bem.

Uma dúvida, como é que a professora chegou aqui

M\frac{d^2X}{dt^2}=0


:?:
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Re: Leis de Newton e de Conservação

Mensagempor cp em Sábado Nov 21, 2009 4:22 pm

robespierre Escreveu:Uma dúvida, como é que a professora chegou aqui

M\frac{d^2X}{dt^2}=0


:?:


Das equações de movimento para as partículas 1 e 2
m_1 \frac{d^2x_ 1}{dt^2}=-k(x_1-x_2)
m_2 \frac{d^2x_ 2}{dt^2}=k(x_1-x_2)

Fazendo a mudança de variáveis

x=x_1-x_2
X=\frac{m_1}{M} x_1+\frac{m_2}{M} x_2

Obtemos para x_1, \, x_2
x_1=X+\frac{m_2}{M} x
x_2=X-\frac{m_1}{M} x


As equações em termos das novas variáveis escrevem-se
m_1 \left(\frac{d^2X}{dt^2}+\frac{m_2}{M} \frac{d^2 x}{dt^2}\right)  =-k\,x
m_2 \left(\frac{d^2X}{dt^2}-\frac{m_1}{M} \frac{d^2 x}{dt^2}\right)  =k\, x

somando membro a membro
(m_1+m_2)\frac{d^2X}{dt^2} +0 =0

dividindo a primeira equação por m_1 e a segunda por m_2 e subtraindo membro a membro
0+\frac{m_2+m_1}{M} \frac{d^2 x}{dt^2}= -k\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2} \right) x

ou ainda

\frac{d^2 x}{dt^2}= -k\frac{m_1+m_2}{m_1m_2} x

fica fácil com estes truques de somar e subtrair as equações ... :D
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