Coleção de cartas

Problemas onde não se procura um resultado exacto mas uma estimativa razoável baseada em ordens de grandeza...

Re: Coleção de cartas

Mensagempor manuelbrandao99 em Domingo Jan 04, 2015 12:20 pm

leandrosilva Escreveu:
Ao fim de comprarem 100 cartas, 78 são repetidas em cada um (A e B). Se há 78 repetidas, então há 78/2 = 39 "tipos" de carta repetidas. E se houver trocas cada um vai ganhar 39 cartas da coleção.


Supões que todas as cartas repetidas seriam trocadas, nem sempre seria assim, existiriam cartas repetidas que seriam repetidas para ambos.
Creio que esse foi o teu erro.

O resultado final está incorreto de igual modo.


Tens razão.
Então vamos imaginar que os dois compram 225 cartas. 225 - 50 = 175 cartas repetidas que cada um tem, ou seja 175/2 = 87.5 tipos de carta repetidas. Como há apenas 50 tipos de cartas, então 87.5-50 = 37.5 aproximadamente 38 cartas têm de ser repetidas para os dois.
O meu primeiro resultado era 82, mas agora tenho de somar estas 38, ou seja a resposta é 225 - (82+38) = 225 - 120 = 105 cartas poupadas.

A resposta seria então que conseguem poupar 105 cartas.
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor davidpereira em Domingo Jan 04, 2015 12:29 pm

Que tal 113? (ainda não pensei bem nisto, mas vou também mandar um palpite)
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor manuelbrandao99 em Domingo Jan 04, 2015 12:30 pm

davidpereira Escreveu:Que tal 113? (ainda não pensei bem nisto, mas vou também mandar um palpite)

113 cartas poupadas?
Como chegaste lá?
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor davidpereira em Domingo Jan 04, 2015 12:34 pm

Como disse ainda não fiz as tentativas para falsificar o meu raciocínio e hoje vou estar grande parte do dia ocupado. Preciso de mais tempo
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor manuelbrandao99 em Domingo Jan 04, 2015 2:40 pm

Apercebi-me agora que o meu raciocínio está totalmente errado porque eu divido por 2 para obter aquilo a que chamo tipo de cartas mas podem estar mais de 2 vezes repetidas.
Depois penso mais um pouco nisto.
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor davidpereira em Segunda Jan 05, 2015 6:33 pm

Esqueçam o 113 que disse uns posts atrás. Contudo acho tenho razões para acreditar que o resultado se situa entre 0 e 113 cartas poupadas...
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor leandrosilva em Segunda Jan 05, 2015 11:16 pm

Exato Manuel, cometeste o mesmo erro.

Porquê, David?

PS: Devo postar a resposta daqui a 1 semana, o que dizem?
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor davidpereira em Terça Jan 06, 2015 11:08 am

Se se poupam cartas, o nº de cartas poupadas tem que ser superior a 0.
Há uns posts atrás meti 113 mas apercebi-me mais tarde que seria cerca de 113 se fossem 2 amigos a tentar completar apenas uma coleção. Portanto o resultado deve estar compreendido entre esses dois valores (acho eu).
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor leandrosilva em Segunda Jan 12, 2015 8:31 pm

Já passou mais de uma semana, pelo que postarei a solução (Não tenho conseguido entrar no fórum nos últimos dias)

Suponhamos que temos A amigos, e que todos contribuem para fazer A + 1 coleções, de modo a cada um ter uma. Em média, quando o número de cartas N é grande e é feita troca de cartas, a resposta aproxima-se de:

N x [ ln(N) + A ln(lnN) + 0,58 ]

Por outro lado, se cada um tiver completado uma coleção sem fazer trocas, teriamos necessitado de aproximadamente: (A+1) N [ ln(N) + A ln(lnN) + 0,58 ]
Para N = 50, o número de cartas poupadas seria de 156A. Sendo A = 1, seriam poupadas 156 cartas.
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor joao.francisco em Terça Jan 13, 2015 8:07 pm

Reparei num detalhe que não sei se é relevante ou não mas achei que valia a pena dizer.
Essas coleções vêm packs, normalmente de 3, 5 ou 6 (acho eu), isso importa para o resultado?
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor carloscouto em Terça Jan 13, 2015 11:46 pm

Boas ! Antes de mais, probelma interessante e apesar de já vir tarde para a descoberta da solução gostaria de fazer umas perguntas e esclarecer algumas coisas.

gonced8 Escreveu:A probabilidade a 2ª carta ser nova é de: P(2)=\frac{49}{50}+\frac{49}{50}\times 2


Acho que esta maneira não resulta bem porque a probabilidade iria ser maior que 1, o que é impossível.

davidpereira Escreveu:Eu cheguei a esse resultado (225) pensando na definição clássica de probabilidade: nºcasos favoráveis/nº casos possíveis. Queremos que os casos favoráveis sejam 1(porque queremos uma carta não repetida) e assim calcula-se o nº de casos possíveis (cartas que supostamente é preciso comprar). Daí dar E(x) = 1/P (acho eu). Somando dá cerca de 225.


Consegues explicitar melhor o teu método ? Não consigo ver como através da definição clássica lá se chega...

joao.francisco Escreveu:Reparei num detalhe que não sei se é relevante ou não mas achei que valia a pena dizer.
Essas coleções vêm packs, normalmente de 3, 5 ou 6 (acho eu), isso importa para o resultado?


Quanto aos packs, a meu ver ia alterar ligeiramente a resposta pois poderia acabar-se por se comprar mais cartas que as necessárias, pois não estamos a comprar uma de cada vez.
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor davidpereira em Quarta Jan 14, 2015 3:19 pm

A definição clássica de probabilidade diz que a probabilidade de um acontecimento é igual ao nº de casos favoráveis sobre o nº de casos possíveis. Então significa que, por exemplo, se a probabilidade de um acontecimento é 1/50, espera-se que o acontecimento ocorra 1 em 50 vezes. Aplicando isto às cartas, se P(sair carta nova)=1/50 (por ex.), espera-se que em 50 cartas compradas 1 seja nova. Então se P(sair carta nova)=49/50 espera-se que em 50 cartas compradas 49 sejam novas. Mas só é preciso 1 nova. Logo faz-se a proporção e conclui-se que o nº de cartas que é necessário comprar a uma dada altura é o inverso da probabilidade. (não estou 100% certo deste raciocínio, mas as pesquisas do Gonçalo corroboram-no, por isso deve estar bem.) Depois é somar 50/50 + 50/49+... até ao 50/1. Não sei se fui mais explícito...
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor carloscouto em Quarta Jan 14, 2015 4:59 pm

davidpereira Escreveu:A definição clássica de probabilidade diz que a probabilidade de um acontecimento é igual ao nº de casos favoráveis sobre o nº de casos possíveis. Então significa que, por exemplo, se a probabilidade de um acontecimento é 1/50, espera-se que o acontecimento ocorra 1 em 50 vezes. Aplicando isto às cartas, se P(sair carta nova)=1/50 (por ex.), espera-se que em 50 cartas compradas 1 seja nova. Então se P(sair carta nova)=49/50 espera-se que em 50 cartas compradas 49 sejam novas. Mas só é preciso 1 nova. Logo faz-se a proporção e conclui-se que o nº de cartas que é necessário comprar a uma dada altura é o inverso da probabilidade. (não estou 100% certo deste raciocínio, mas as pesquisas do Gonçalo corroboram-no, por isso deve estar bem.) Depois é somar 50/50 + 50/49+... até ao 50/1. Não sei se fui mais explícito...


Foste, já percebi :)
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Re: Coleção de cartas

Mensagempor leandrosilva em Quarta Jan 14, 2015 5:22 pm

davidpereira Escreveu:A definição clássica de probabilidade diz que a probabilidade de um acontecimento é igual ao nº de casos favoráveis sobre o nº de casos possíveis. Então significa que, por exemplo, se a probabilidade de um acontecimento é 1/50, espera-se que o acontecimento ocorra 1 em 50 vezes. Aplicando isto às cartas, se P(sair carta nova)=1/50 (por ex.), espera-se que em 50 cartas compradas 1 seja nova. Então se P(sair carta nova)=49/50 espera-se que em 50 cartas compradas 49 sejam novas. Mas só é preciso 1 nova. Logo faz-se a proporção e conclui-se que o nº de cartas que é necessário comprar a uma dada altura é o inverso da probabilidade. (não estou 100% certo deste raciocínio, mas as pesquisas do Gonçalo corroboram-no, por isso deve estar bem.) Depois é somar 50/50 + 50/49+... até ao 50/1. Não sei se fui mais explícito...


Estás certo, se reparares coloquei esse raciocínio na solução.

Quanto às sacas creio que já foi respondido, sendo que nas sacas encontram-se cartas aleatórias, diria ser praticamente o mesmo que as comprar em separado.

Resta saber é se os "Senhores" das coleções fazem estes cálculos, que, sendo a probabilidade de obter cada carta igual, é interessante. Com uma ligeira alteração probabilística seriam ainda mais interessantes.

Como sempre, caso alguém tenha uma resolução alternativa, sinta-se livre ;)
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