Resolução de "equações impossíveis"...

Fórum sobre técnicas matemáticas úteis na preparação olímpica

Resolução de "equações impossíveis"...

Mensagempor jap em Sábado Dez 02, 2006 6:20 pm

Mais tarde ou mais cedo (mais cedo do que tarde :D ) vocês irão deparar-se com problemas que desembocam em "equações impossíveis" ...:shock: Não impossíveis no sentido matemático do termo, mas da impossibilidade prática de as resolver de forma analítica!

Eis um exemplo retirado de um problema que saiu em tempo numa prova da IPhO.

Uma corpo esférico, homogéneo, com 5,5 cm de raio, feito de um material de densidade 0.6, boia em água. Calcular a profundidade da boia submersa em água.

Imagem

O problema até é simples, é só aplicar a lei de arquimedes e alguma geometria elementar. Mas vamos desembocar na seguinte equação para a profundidade x (vá lá, verifiquem que é mesmo assim... :wink: ):

x^3-0.165x^2+3.993\times10^{-4}=0

Como resolver esta equação? É certo que existem algoritmos para resolver equações cúbicas, mas não são muito práticos e vocês não são, sequer, suposto conhecê-los.
Seria muito fácil encontrar a solução usando uma calculadora gráfica ou programável, mas ficam já a saber que estas calculadoras são PROIBIDAS :evil: nas provas internacionais :cry: - é melhor irem já habituando-se à ideia...

Como vamos então resolver esta equação? Para já, reparem que do ponto de vista físico está assegurado que há uma e uma só solução no intervalo 0 < x < 2R... E vão ver que não é dificil encontrar essa solução. Para tal vou mostrar nos posts seguintes alguns métodos para "atacar" este tipo de equações...
Stay tuned.
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Re: Resolução de "equações impossíveis"...

Mensagempor manuelmarque em Sábado Dez 02, 2006 6:35 pm

jap Escreveu:Seria muito fácil encontrar a solução usando uma calculadora gráfica ou programável, mas ficam já a saber que estas calculadoras são PROIBIDAS :evil: nas provas internacionais :cry: - é melhor irem já habituando-se à ideia...



OFF-TOPIC: Não sabiam que eram proibidas :P É pena, de facto... são muito úteis nas provas práticas em que é necessário recolher e tratar dados... para além de ser muito mais transparente o processo de cálculo com prioridades. :)

Já nas Olimpíadas de Matemática é o mesmo... mas eles restringem o uso das calculadoras já na prova de pré-selecção...
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Mensagempor Real em Sábado Dez 02, 2006 6:40 pm

Podemos obter uma solução aproximada se considerarmos que o termo independente é nulo... Portanto x \approx 0.165 cm
Parece-me que a aproximação não é nada má visto que o termo independente é 4 ordens de grandeza inferior à solução...
À primeira vista não me surge mais nada de especial...
Alguém tem mais ideias?
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Mensagempor jap em Sábado Dez 02, 2006 7:01 pm

Desculpem, não disse à bocado, mas a equação acima está no SI. Seria mais inteligente trabalhar em cm, mas enfim...vamos trabalhar com esta, vai dar ao mesmo. E assim, fica com uma pequena ratoeira...eh,eh :lol:
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Mensagempor jap em Sábado Dez 02, 2006 7:04 pm

Real Escreveu:Podemos obter uma solução aproximada se considerarmos que o termo independente é nulo... Portanto x \approx 0.165 cm
Parece-me que a aproximação não é nada má visto que o termo independente é 4 ordens de grandeza inferior à solução...
À primeira vista não me surge mais nada de especial...
Alguém tem mais ideias?


A resposta correcta é x = 0.0623 m, portanto a tua "guess" 0.165 m tem um erro maior do que 100%! :wink:
As aparências iludem, porque se o termo independente é pequeno também são pequenos o termo cúbico e o quadrático!
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Mensagempor manuelmarque em Sábado Dez 02, 2006 7:06 pm

Real Escreveu:Podemos obter uma solução aproximada se considerarmos que o termo independente é nulo... Portanto x \approx 0.165 cm
Parece-me que a aproximação não é nada má visto que o termo independente é 4 ordens de grandeza inferior à solução...
À primeira vista não me surge mais nada de especial...
Alguém tem mais ideias?


Realmente aquele 0.3993\times10^{-4} é muito pequeno, pode-se desprezar e ainda assim termos um valor bastante aproximado... ou não?
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Mensagempor Real em Sábado Dez 02, 2006 7:30 pm

Professor, resolvi a equação usando o Mathematica e ele cuspiu a solução 1,64 cm. Verifique os seus cálculos! De facto a solução x=0.165m também é matematicamente boa, mas não tem validade para este problema, pois esse valor é muito maior que o diâmetro da bola!

Bem, para resolver este "problema", talvez o melhor seja recorrer a métodos iteractivos... Do género das bissecções sucessivas,... Não?
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Mensagempor jap em Sábado Dez 02, 2006 7:36 pm

Real Escreveu:Professor, resolvi a equação usando o Mathematica e ele cuspiu a solução 1,64 cm. Verifique os seus cálculos! De facto a solução x=0.165m também é matematicamente boa, mas não tem validade para este problema, pois esse valor é muito maior que o diâmetro da bola!

Bem, para resolver este "problema", talvez o melhor seja recorrer a métodos iteractivos... Do género das bissecções sucessivas,... Não?


Sim, claro, o erro de 100% é em relação à solução com significado físico, não está errada do ponto de vista matemático, porque uma equação do 3º grau tem 3 raízes, mas, neste caso, apenas uma com significado físico.
O que acontece é que o termo cúbico, o quadrático e o termo independente são da mesma ordem de grandeza para a solução com significado físico...

Por isso é importante ter em atenção que a equação está no SI, e que a solução será da ordem de grandeza do centímetro...
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Mensagempor jap em Sábado Dez 02, 2006 8:03 pm

Real Escreveu:Professor, resolvi a equação usando o Mathematica e ele cuspiu a solução 1,64 cm. Verifique os seus cálculos!
(...)

Desculpa, o termo independente da equação é \rm 3.993\times10^{-4} e não \rm 0.3993\times10^{-4}...Daí o problema! Vê lá se agora o Mathematica dá o mesmo resultado das minhas contas... :wink:
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Mensagempor Real em Sábado Dez 02, 2006 8:23 pm

Para quem tivesse tempo (e paciência) a raiz podia ser encontrada através do método das bissecções sucessivas...

Seja f(x)=x^3-0.165x^2 + 3.993E-4.
f(R)=f(0.055)=6.7E-5 e f(2R)=f(0.11)=-2.7E-4
Como um valor é positivo e o outro é negativo, então a raiz tem necessariamente de estar entre eles! Vamos experimentar o valor médio entre R e 2R:
f(0.0825)=-1.6E-4
Então a raiz tem de estar entre 0.055 e 0.0825!
Procedendo assim sucessivamente podemos obter uma solução aproximada do problema: x \approx 0,062378
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Mensagempor jap em Sábado Dez 02, 2006 9:16 pm

Isso mesmo,

o método da bissecção é um método muito seguro para resolver este tipo de equações, embora um pouco trabalhoso! Faz parte daqueles algoritmos tão simples, que nunca esquecem! Vamos lá a tomar nota :wink:

E reparem que este problema tinha mais uma ratoeira :? , desta feita no desenho. É óbvio que a bola, dada a sua densidade, está mais de metade submersa, ou seja,

R<x< 2R,

tal como diz o Diogo.
Mas não é isto que o desenho mostra... :cry:

Quando deduzirem a equação do equilíbrio de forças, tenham isto em atenção: o desenho apresentado representa apenas x de forma genérica, e não a situação real - e isto tem implicações, como é óbvio, no cálculo do volume submerso, ou seja, da impulsão...

Que mauzinhos lá na IPhO, não :?
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Mensagempor jap em Sábado Dez 02, 2006 11:05 pm

Bom,

para que vejam como o método da bissecção é moroso (mas não falha :D !), mostro aqui o resultado da aplicação deste algoritmo ao nosso problema. Como podem verificar, são precisas 16 iterações para obter uma precisão de 6 casas decimais.
Mostrarei, num post futuro, como encontrar a raiz da equação de uma forma bem mais eficiente... :wink:

O intervalo da busca é [a,b] , m é o ponto médio do intervalo e \rm erro a incerteza máxima na localização da raiz, em cada passo da iteração.


niter a b m erro
1 0.055000 0.110000 0.082500 0.027500
2 0.055000 0.082500 0.068750 0.013750
3 0.055000 0.068750 0.061875 0.006875
4 0.061875 0.068750 0.065312 0.003438
5 0.061875 0.065312 0.063594 0.001719
6 0.061875 0.063594 0.062734 0.000859
7 0.061875 0.062734 0.062305 0.000430
8 0.062305 0.062734 0.062520 0.000215
9 0.062305 0.062520 0.062412 0.000107
10 0.062305 0.062412 0.062358 0.000054
11 0.062358 0.062412 0.062385 0.000027
12 0.062358 0.062385 0.062372 0.000013
13 0.062372 0.062385 0.062379 0.000007
14 0.062372 0.062379 0.062375 0.000003
15 0.062375 0.062379 0.062377 0.000002
16 0.062377 0.062379 0.062378 0.000001
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Mensagempor jap em Domingo Dez 03, 2006 6:08 pm

Método de Newton

Newton inventou um método para encontrar a solução de uma equação f(x)=0, que é muito eficaz, desde que tenhamos uma ideia aproximada do valor da solução, o que em geral um físico consegue muito bem intuir... :wink:
O método geralmente funciona bastante bem, mesmo que a ideia aproximada não seja assim tão próxima do verdadeiro valor da solução... :lol: e além disso, e sobretudo, é um método que, normalmente, é bem mais eficiente do que o método da bissecção para resolver equações "impossíveis...

Ora aqui vai o método de Newton. Prestem atenção.

Seja \tilde xa solução da equação f(x)=0 (ou seja f(\tilde x) =0!) e x_0 um valor aproximado desta solução. Podemos escrever (ver tópico Taylor)

f(\tilde x) = f(x_0) + (\tilde x-x_0)f&#39;(x_0) + \frac{1}{2}(\tilde x-x_0)^2+\cdots

Vamos, em primeira aproximação, desprezar os termos quadráticos e seguintes nesta expansão. Assim, de forma aproximada,

f(\tilde x) \sim f(x_0) + (\tilde x-x_0)f&#39;(x_0)

Mas, por hipótese, f(\tilde x)=0, pelo que podemos concluir que

\tilde x \sim x_0 - \frac{f(x_0)}{f&#39;(x_0)}

Esta expressão é muito interessante porque mostra que, a partir de x_0 podemos obter um valor mais próximo do verdadeira solução da equação, dado pela expressão acima. Chamemos a este valor x_1. Agora vem a parte interessante: podemos repetir o processo, a partir de x_1para obter uma valor ainda mais aproximado x_2, e assim por diante. Ou seja:

x_{n+1} \sim x_n - \frac{f(x_n)}{f&#39;(x_n)}


Querem experimentar este método para resolver a equação do nosso problema (boia?).

Digam-me o que acham deste método... :roll:
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Mensagempor Real em Domingo Dez 03, 2006 6:47 pm

Convém ter em mente que este método não converge sempre! Contudo, pode-se garantir que há convergência quando f(x_0).f&#39;&#39;(x_0)>0. Isto é, o valor da função em x_0 tem de ter o mesmo sinal que o valor da segunda derivada nesse mesmo ponto!
Portanto é preciso ter cuidado na escolha do x_0, caso contrário o algoritmo pode dar valores disparatados! :wink:

A seguinte imagem pode tornar mais ilustrativo este algoritmo:

Imagem

1. Calcula-se f(x_0)
2. Traça-se a recta tangente nesse ponto
3. x_1 é o ponto de intersecção da recta tangente com o eixo dos xx
....

Tentem repetir este esquema com outras funções, nomeadamente com concavidade negativa (ex. parábola virada para baixo) e f(x_0)>0.
Só há convergência em alguns casos!! (a parábola é um deles)
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Mensagempor jap em Domingo Dez 03, 2006 6:58 pm

Exacto.

Por isso é que classifiquei o método da bissecção como de convergência lenta, mas seguro. O método de Newton é (em geral) de convergência bem mais rápida, mas não é necessariamente seguro, isto é, pode falhar na busca da solução da equação!

Uma situação patológica é quando o zero da equação está próximo de uma região onde a primeira derivada se anula...e percebe-se porque é arriscado usar este algoritmo nessa situação! :wink:
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