Séries de Fourier

Fórum sobre técnicas matemáticas úteis na preparação olímpica

Re: Séries de Fourier

Mensagempor RicardoCampos em Terça Jan 18, 2011 2:13 pm

Gostei muito do post :hands:
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Re: Séries de Fourier

Mensagempor jap em Terça Jan 18, 2011 8:03 pm

Obrigado pelo post, muito bom, de facto! :hands:

Já agora, sobre o problema do rigor/simplificação na introdução às séries de Fourier, não sei se sabem mas o Sr. Joseph Fourier criou este método para resolver os problemas matemáticos da teoria da condução do calor (ele era engenheiro militar). Apesar da evidência da sua grande utilidade, este método das "séries trigonométricas" teve inicialmente má aceitação na comunidade matemática francesa (ele era Francês, parisiense de nascimento mas vivia em Grenoble - cidade onde eu também vivi quatro anos - quando fez esta descoberta) porque, precisamente, as propriedades de convergência, entre outras questões de rigor, estavam omissas no trabalho de Fourier. O pobre "engenheiro militar" levou muita pancada do Lagrange e do Laplace! :lol: Foi preciso algum tempo para que a comunidade dos matemáticos reconhecesse a originalidade (e a abrangência!) deste método verdadeiramente..."engenhoso"! :D

Vale muito a e pena ler a biografia dele aqui:

Jean-Baptiste Joseph Fourier
José António Paixão
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Re: Séries de Fourier

Mensagempor Simbelmyne em Terça Jan 18, 2011 10:08 pm

jap Escreveu:Já agora, sobre o problema do rigor/simplificação na introdução às séries de Fourier, não sei se sabem mas o Sr. Joseph Fourier criou este método para resolver os problemas matemáticos da teoria da condução do calor (ele era engenheiro militar).


Que tem um exemplo muito engraçado no cálculo da temperatura em função do tempo no centro de uma galinha esférica num forno :D
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Re: Séries de Fourier

Mensagempor Bruno Oliveira em Quarta Jan 19, 2011 3:44 pm

hexphreak Escreveu:* Agora o Bruno vai-me bater, porque eu disse o contrário na resposta ao post inicial dele :P


Contradições... :P

Enfim, acho que o post do André está de facto, muito bom, e em conjunto com o meu primeiro post, quem ler este tópico ficará com um entendimento que me parece bastante bom do que são e em que se aplicam as séries de Fourier, que é afinal o objectivo do nosso fórum!! :D Fiquei muito admirado (e maravilhado) com a analogia que foi feita com os vectores, é muito giro ver tudo a ligar-se.

Estou muito contente com o facto do Henrique ter sido "promovido" a moderador!! O fórum está no seu auge, com muita actividade, mais organização e os problemas antigos estão a vir à tona. :wink:

Vamos voltar a cumprir a B-rule.

Isto é o Quark! Great to be here.
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Re: Séries de Fourier

Mensagempor hexphreak em Quarta Jan 19, 2011 6:46 pm

Obrigado pelas tuas palavras, Bruno :F Mas é capaz de demorar um bocadinho até a B-rule voltar a ser cumprida... :lol: Espero que todos colaborem para isso!

Em relação à identificação vector-sinal*, como o Bruno referiu, é realmente muito engraçada e esclarecedora. Apenas para acrescentar algumas informações em relação a esse assunto, é muito interessante que exista de facto uma correspondência formal, mais do que uma analogia, entre os dois conceitos. Intuitivamente, costuma-se pensar num sinal (função do tempo) como um vector na base dos tempos: para sinais discretos (i.e. funções que existem apenas em instantes inteiros), cada instante constitui um versor desta base; temos assim a base \mathcal{T} = \{\ldots,\mathbf{t}_{-1}, \mathbf{t}_0, \mathbf{t}_1,\ldots\}.

A partir deste ponto, todas as operações sobre o sinal podem ser entendidas num sentido geométrico, com análogo directo nas transformadas de Fourier. Por exemplo, para a translação no tempo, ou seja, x[n]\to x[n-k]: uma vez temos as mesmas componentes em versores diferentes, a operação geométrica associada é simplesmente uma rotação em torno da origem! No caso da transformada de Fourier de x (neste caso uma DFT - Discrete Fourier Transform) verifica-se isso mesmo, vindo os coeficientes multiplicados de e^{-j\Omega k}, o que corresponde a uma rotação no plano complexo (um dos meus professores costuma dizer que a exponencial "rouba fase").

Uma outra operação, esta frequente em Física Experimental (e, aproveito para dizer, provas experimentais. Por isso, caros olímpicos, isto também vos diz respeito :P), é a de efectuar uma regressão. Em geral, queremos ajustar um conjunto de pontos experimentais a uma função de um dado tipo, habitualmente uma combinação linear de funções simples (um ajuste linear será da forma ax+b, enquanto outros ajustes frequentes são ax^2+bx+c ou a/x+b). A técnica geral para efectuar estes ajustes, a de mínimos quadrados, mais não é do que a projecção de um vector (a vossa função determinada experimentalmente) num referencial formado pelas funções componentes do vosso ajuste! :shock: Assim, por exemplo, um ajuste linear não é mais do que encontrar a = (f,x) e b = (f,1), sendo o erro do ajuste determinado pela norma do vector diferença das duas funções :D

Não pude deixar de me alongar um pouco neste assunto, mas espero que esta unificação de conceitos vos traga tanto enlightenment como a mim :lol:


* Desculpem-me por falar em sinais e não em funções, mas simplesmente estou mais habituado à terminologia. Defeito profissional, se quiserem :P
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Re: Séries de Fourier

Mensagempor ampat em Quarta Jan 19, 2011 7:25 pm

De facto, interessei-me imenso pelo estudo das séries de Fourier neste semestre. O meu professor introduziu o tema de uma forma muitíssimo intuitiva com esta identificação vector-função, que acho mais interessante e esclarecedora que a apresentação como uma forma de aproximação de mínimos quadrados( o único resultado não trivial usado na prova dos teoremas de convergência pontual e uniforme das séries foi um teorema espectral ).

Tenho agora de começar a estudar transformadas de Fourier para as quais ainda só tive uma ligeira introdução numa cadeira de Laboratório. :D. Podias-me recomendar algum livro que explique as Transformadas dessa forma geométrica, ou outro que introduza o tema também de uma maneira intuitiva e interessante( mesmo que seja de Teoria do Sinal :mock: )?

Acho que seria interessante( e com isso ficaria, penso eu, completa a lista de Técnicas Matemáticas Básicas bastante úteis em Física) um tópico de introdução à aproximação por mínimos quadrados de uma classe de funções a dados experimentais.
Um tópico, mesmo que intuitivo, para se perceber o porquê de tentar encontrar a recta que visualmente melhor se ajusta a um conjunto de dados experimentais que se pensa possuírem uma relação linear. :)
última vez editado por ampat s Quarta Jan 19, 2011 7:40 pm, editado 1 vez no total
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Re: Séries de Fourier

Mensagempor hexphreak em Quarta Jan 19, 2011 7:47 pm

ampat Escreveu:Tenho agora de começar a estudar transformadas de Fourier para as quais ainda só tive uma ligeira introdução numa cadeira de Laboratório. :D. Podias-me recomendar algum livro que explique as Transformadas dessa forma geométrica, ou outro que introduza o tema também de uma maneira intuitiva e interessante( mesmo que seja de Teoria do Sinal :mock: )?

Devo admitir que não conheço a literatura disponível tão bem quanto desejaria :oops: Posso, no entanto, indicar-te um livro que achei muito interessante e que privilegia precisamente esta abordagem: "Teoria do Sinal e suas Aplicações", de Joaquim Azevedo et al. Está à venda na Wook, e penso que também na Fnac :)

ampat Escreveu:Acho que seria interessante( e com isso ficaria, penso eu, completa a lista de Técnicas Matemáticas Básicas bastante úteis em Física) um tópico de introdução à aproximação por mínimos quadrados de uma classe de funções a dados experimentais. :)

É uma boa ideia! :) Infelizmente não é algo de que se fale muito na preparação olímpica, até porque as regressões são normalmente feitas "a olhómetro", mas não deixa de ser uma técnica muito útil e que vale a pena saber. Vou ver se arranjo um tempinho para adaptar alguns apontamentos aqui ao fórum :wink:
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Re: Séries de Fourier

Mensagempor ampat em Quarta Jan 19, 2011 7:50 pm

Obrigado. Vou ver o livro e tentar arranjar tempo para o ler. :wink:
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