Séries de Fourier

Fórum sobre técnicas matemáticas úteis na preparação olímpica

Séries de Fourier

Mensagempor Bruno Oliveira em Sábado Jul 26, 2008 11:51 pm

Como já tinha dito amanhã vou tentar escrever um post sobre as séries de Fourier porque parece-me que o que está na wikipedia está bastante formal :roll: .

A ver se me inspiro... :lol:

Stay Tuned! :wink:
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Mensagempor hexphreak em Domingo Jul 27, 2008 1:32 am

O artigo da Wikipedia parece-me bom, mas de qualquer maneira eu também tenho aqui uma explicação espectacular tanto das séries como da transformada, num dos livros sobre processamento digital de sinais :) Depois talvez poste alguma coisa.
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Mensagempor Bruno Oliveira em Domingo Jul 27, 2008 10:41 am

Pois eu só tenho mesmo das séries, só sei o básico que foi o que o meu pai me explicou mas posso postar uns gráficos giros e deve ficar bom, depois, caso alguém queira pode sempre acrescentar alguma coisa que eu posso editar á vontade no post original :D
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Mensagempor Bruno Oliveira em Domingo Jul 27, 2008 12:19 pm

Séries de Fourier

Para começar, importa dizer que o que vou aqui escrever, é o básico, não vou entrar com cálculos analíticos, vou recorrer a uma simulação computacional (em excel) para ilustrar a aproximação a uma função por Séries de Fourier, embora descreva os formalismos que são usados em termos de cálculo. :roll:

Uma série de fourier diz que qualquer função pode ser representada num dado intervalo, pelo valor médio da função nesse intervalo (v_m) e pela soma desse valor médio com infinitas ondas (em que a onda n, tem a expressão:Onda_n=a_n cos(\omega_nt)+b_n sin(\omega_nt).

É talvez importante referir que estas infinitas ondas têm período igual a T e aos seus submúltiplos, tais como: \frac{T}{2}, \frac{T}{3}, \frac{T}{4} ...

Na figura abaixo, podemos ver o período T e os seus submúltiplos:

Imagem

Assim, e como sabemos que f=\frac{1}{T}, ao diminuir o período a frequência irá aumentar, vindo, em rad/s:

\frac{2\pi}{T}, 2\frac{2\pi}{T}, 3\frac{2\pi}{T},4\frac{2\pi}{T}... mas se fizermos \Delta \omega=\frac{2\pi}{T}, obtemos ondas com frequências: \omega_1=\Delta \omega, \omega_2=2\Delta \omega...

Mas, o que é o valor médio da função? :roll:

Imagem

, tomando como exemplo esta função, o seu valor médio v_m, no intervalo [0,T], em que T=10, é definido como sendo o valor M, tal que o rectângulo de base 10 e de altura M, tenha a mesma area da figura entre o gráfico da função e o eixo dos xx, que é um integral definido:
\displaystyle \int^T_0 fx\,dx=Area_{graf}.

Os coeficientes a_n e b_n, os chamados coeficientes de fourier são uma média dos valores da função, que se poderiam calcular recorrendo ao integral, mas o Excel tem uma função AVERAGE(...) que nos dá o valor médio e não recorremos a esses integrais.

Agora que sabemos em que consistem as séries de Fourier, vamos começar a tentar aproximar a nossa função de exemplo por uma série de Fourier.

Começando com: 2 ondas (valor médio+ onda 1):

Imagem

Vemos que não conseguimos uma aproximação nada precisa :? , mas é normal ainda só expandimos a nossa função em apenas 2 ondas, obviamente que precisaremos de centenas delas para obter uma boa aproximação :lol: .

Vamos agora observar a nossa função expandida na ordem das 30 ondas:

Imagem

:shock: Ena, podemos ver que a nossa expansão por sériies de fourier está a querer "ajustar-se" á nossa função, portanto, está a correr bastante bem... :D , mas agora vamos poder observar um efeito curioso que vai começar a ser notório por volta das 50 ondas:

Imagem

A nossa aproximação continua a ser feita, mas nos chamados pontos angulosos da função (grosseiramente, os "bicos" da função), vemos que a aproximação não é tão precisa como no resto da função, este efeito diz-se o Efeito de Gibbs ou o fenómeno de Gibbs.

Por fim, e após continuar a correr o programa conseguimos um ajuste perfeito da aproximação ao gráfico da função, que surge após a soma de 500 ondas, embora só seja perfeita quando o número de ondas for \infty. :wink:

Imagem

:D :D

Conseguimos uma excelente aproximação com apenas 500 ondas!!

Contudo, e contrariamente ao esperado, talvez devido a erros de aproximação na simulação, ao continuar a correr o programa vemos que volta a aparecer de novo o efeito de gibbs, mas podemos ver que a aproximação de uma função por Séries de Fourier é altamente fiável e muito útil, pois tem inúmeras aplicações práticas, por exemplo:
-Fenómenos de condução do calor
-Na engª foi usada aquando do colapso da ponte Tacoma Narrows, que entrou em ressonância com ventos muito baixos :roll: , as séries de fourier permitiram estudar em detalhe o comportamento de sistemas deste tipo e previnir futuras tragédias :cry: .

No entanto espero que tenha ficado claro e que gostem de ler, algum acerto ou sugestão podem dizer á vontade :D.
última vez editado por Bruno Oliveira s Terça Jan 12, 2010 10:49 am, editado 3 vezes no total
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Mensagempor Bruno Oliveira em Domingo Jul 27, 2008 9:20 pm

Alguém sabe como se editam gráficos? :roll:

Assim fica bastante inestético :lol:
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Mensagempor hexphreak em Domingo Jul 27, 2008 10:20 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Alguém sabe como se editam gráficos? :roll:

Assim fica bastante inestético :lol:

Podes sempre utilizar uma aplicação online como o resizr, na opção Crop.

Quanto ao conteúdo do post, acho que te devias abster de utilizar o Excel para explicar os conceitos matemáticos :? E talvez seja necessária uma introdução mais completa, com alguma da terminologia técnica.
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Mensagempor Bruno Oliveira em Domingo Jul 27, 2008 10:24 pm

Obrigado Henrique :wink:

Em relação ao que disseste sobre o conteúdo do post, tens toda a razão, mas decidi usar o Excel, porque foi a maneira que eu encontrei de eu próprio perceber este tema, até porque acho que não tenho conhecimentos para usar os formalismos matemáticos necessários, foi apenas uma tentativa, mas se quiseres estás á vontade para acrescentar tudo o que quiseres :wink:
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Mensagempor hexphreak em Domingo Jul 27, 2008 10:25 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Obrigado Henrique :wink:

Em relação ao que disseste sobre o conteúdo do post, tens toda a razão, mas decidi usar o Excel, porque foi a maneira que eu encontrei de eu próprio perceber este tema, até porque acho que não tenho conhecimentos para usar os formalismos matemáticos necessários, foi apenas uma tentativa, mas se quiseres estás á vontade para acrescentar tudo o que quiseres :wink:

Vou ver se perco a preguiça e escrevo alguma coisa :lol:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Domingo Jul 27, 2008 10:27 pm

Ok, até porque certamente conseguirás aprofundar um pouco mais o tópico, o que escrevi, é quase uma base :lol: , mas de qualquer maneira achei que ficaram giros os gráficos para ilustrar as aproximações :)
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Mensagempor jap em Domingo Jul 27, 2008 10:31 pm

Está muito bem Bruno! E o EXCEL serve muito bem para ilustrar as propriedades das séries de Fouier!

O que não está muito claro no teu post para o leitor que não perceba do assunto é o que é \omega_n...e a sua relação com a periodicidade da função analisada... :wink:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Domingo Jul 27, 2008 10:41 pm

Ainda bem que gostou prof. vou então dar uns retoques e amanhã re-edito o meu post nessa parte do \omega_n :wink:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Segunda Jul 28, 2008 10:54 pm

O post já está alterado, em relação ao \omega_n :wink: , no entanto, não consigo editar as imagens no resizr porque não consigo abrir só o link delas directamente do fórum :roll:
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Mensagempor jap em Segunda Jul 28, 2008 10:57 pm

Obrigado, Bruno! :wink:
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Re: Séries de Fourier

Mensagempor ampat em Terça Jan 18, 2011 10:27 am

Para completar com um certo formalismo...

Considere-se para estudo uma função f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} de período 2l( tal que f(x)=f(x+2l),\, \forall x \in \mathbb{R} ) ou, em alternativa, dada f:[-l, l]\rightarrow \mathbb{R} a sua extensão periódica a \mathbb{R}de período 2l( ainda designada por f ).

Impondo a f algumas condições, veremos que pode ser escrita na seguinte forma:

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left( a_n \cos\frac{n\pi x}{l}+b_n \sin\frac{n \pi x }{l} \right)

onde a_n e b_n são coeficientes apropriados. Esta é a série de Fourier de f.

Por exemplo, sendo f:[-\pi, \pi]\rightarrow\mathbb{R} definida por f(x)= \sin x+5\cos(3x), f já se encontra expandida em série de Fourier. Os coeficientes não nulos da expansão são a_1=1 e b_3=5

Qual o significado de desenvolver f em série de Fourier?

Desenvolver f em série de Fourier é uma operação análoga a escrever um vector v na base canónica de \mathbb{R}^3, \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}. Desenvolver f em série de Fourier é escrever f na seguinte base:

\displaystyle \beta = \left\{ 1, \cos \frac{\pi x}{l}, \sin \frac{\pi x}{l}, \cos \frac{2\pi x}{l}, \sin \frac{2\pi x}{l}, \ldots \right\}

Mas esta é uma base de que espaço de funções? Prova-se que \beta é a base do espaço das funções mensuráveis cujo quadrado é integrável em [-l, l]:

\displaystyle L^2([-l,l]) := \left\{ f: [-l,l] \rightarrow \mathbb{R}: \int_{-l}^l |f(x)|^2 \,\mathrm{d}x < \infty \right\}

O requisito de f ser mensurável é necessário para garantir que o integral do quadrado de f está definido. Todas as funções de que falarei daqui para a frente assume-se pertencerem a este espaço.

Representam-se em seguida os cinco primeiros elementos de \beta acima explicitados:

Imagem
Imagem

Como determinar os coeficientes a_n e b_n?

Relembramos em primeiro lugar qual o procedimento em \mathbb{R}^3 para determinar as coordenadas de um vector v=(a_1,a_2,a_3) \in \mathbb{R}^3 na base canónica. Por exemplo, o coeficiente a_2 é v\cdot \mathbf{e}_2 pois

v\cdot e_2=(a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3)\cdot e_2 = a_1e_1\cdot e_2 +a_2e_2\cdot e_2 + a_3e_3\cdot e_2=a_2|e_2|^2=a_2

Neste cálculo usaram-se dois factos acerca da base canónica de \mathbb{R}^3, a saber, os elementos da base têm norma 1 e são ortogonais.
Se os elementos da base fossem ortogonais mas não tivessem norma 1 (não fossem ortonormais), então o coeficiente a_2 seria a_2=v\cdot e_2/|e_2|^2.

Para encontrar os coeficientes de Fourier, procede-se de maneira idêntica. Mas, antes de mais, é necessário definir uma operação produto interno no espaço L^2([-l,l]). Neste espaço, define-se o produto interno

\displaystyle (f,g) := \int_{-l}^{l} f(x)g(x)\,\mathrm{d}x

Podem verificar que esta operação é de facto um produto interno. A norma de f induzida pelo produto interno é

\displaystyle ||f||^2 = (f,f) = \int_{-l}^{l} |f(x)|^2 \,\mathrm{d}x

Definam-se agora

\displaystyle u_n = \cos \frac{n\pi x}{l}, \,n\geq0
\displaystyle v_n = \sin \frac{n\pi x}{l}, \,n\geq1

Deixo como exercício mostrar que

||u_0||^2=2l
||u_n||^2=l=||v_n||^2,\,n\geq1

e que os elementos de \beta são ortogonais, isto é,

(u_n, u_m)=0,\;\;m\neq n
(v_n, v_m)=0,\;\;m\neq n
(u_n,v_m)=0,\;\;\forall n, m

Enuncio, finalmente, o teorema essencial já mencionado atrás que está na base de todos os cálculos e raciocínios elaborados:

O conjunto \mathbf{\beta} é uma base de L^2([-l,l])

Em termos pouco precisos, dada uma função f podemos escrevê-la como uma combinação linear finita ou infinita de senos e cosenos com frequências múltiplas de uma frequência fundamental. Este teorema permite-nos afirmar que, de facto, f pode ser escrita na forma

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} [a_nu_n+b_nv_n], com v_0\equiv0.

Finalmente, se procedermos como em \mathbb{R}^3 para determinar os coeficientes a_n e b_n, vemos que

\int_{-l}^{l}f(x)dx=(\sum_{n=0}^{\infty}[a_nu_n+b_nv_n], u_0)=a_0(u_0,u_0)=a_0||u_0||^2=2la_0

\int_{-l}^{l}f(x)\cos\left(\frac{m\pi x}{l}\right)dx=(\sum_{n=0}^{\infty}[a_nu_n+b_nv_n], u_m)=a_m(u_m,u_m)=a_m||u_m||^2=la_m

\int_{-l}^{l}f(x)\sin\left(\frac{m\pi x}{l}\right)dx=(\sum_{n=0}^{\infty}[a_nu_n+b_nv_n], v_m)=b_m(v_m,v_m)=b_m||v_m||^2=lb_m

Logo, obtemos as expressões explicitas para os coeficientes da expansão em série de Fourier de f:

a_0=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}f(x)dx( média de f em [-l,l]! )
a_m=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\left(\frac{m\pi x}{l}\right)dx
b_m=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\left(\frac{m\pi x}{l}\right)dx


Extensões pares e ímpares


As séries de Fourier são particularmente úteis na determinação de soluções de equações diferenciais parciais(EDP's). Em conjunto com o método de separação de variáveis, obtemos um método para a resolução de problemas de valores na fronteira extremamente útil.

Neste tipo de aplicações, é frequente ter-se uma função f definida apenas num intervalo [0,l] e ser-nos útil estender f a \mathbb{R} de forma a obtermos uma função periódica e tão diferenciável quanto possível; extensões periódicas porque as séries de Fourier são funções periódicas; tão regulares quanto possível porque isso traduz-se positivamente na convergência( possibilidade de convergência uniforme ) das séries de Fourier e na possibilidade de derivar termo a termo( derivada formal = derivada ). Estes critérios permitem que a extensão de f esteja relacionada de forma intima com a função original f.

Seja então f definida em [0,l]. Devemos analisar a regularidade das extensões ímpar, \hat{f}, e par, \tilde{f}, de f.
Na figura seguinte pode ver-se que a extensão ímpar de uma função de classe C^1 em [0,l] é ainda de classe C^1 em [-l,l], enquanto que a extensão par de f não é diferenciável na origem:
Imagem

enquanto que na seguinte figura a extensão par de f é mais conveniente( mais regular ) que a ímpar:

extension.png
Regularidade da extensão par
extension.png (11.66 KiB) Visualizado 5214 vezes


Existem resultados sobre a regularidade das extensões pares e impares de f, mas penso que uma análise visual da função é suficiente para a escolha mais adequada da extensão a considerar.

Um resultado importante que facilita em muito o trabalho da determinação do desenvolvimento em série de Fourier de uma função f definida em [-l,l]( se f não estiver definida em [-l,l] mas apenas em [0,l], podemos estender f a [-l,l] ) é o seguinte:

Dada uma função f, então verifica-se que:

se f for ímpar a_n = 0;
se f for par, b_n = 0.

Assim, para funções pares e ímpares em [-l,l] o cálculo da série de Fourier de f é bastante simplificado.
Este resultado pode ser encarado de forma intuitiva pois se f é uma função par espera-se que a sua série de Fourier seja a soma apenas de funções pares( cosenos ) e se f for ímpar a sua série de Fourier será a soma de funções ímpares apenas( senos ).

Alguns Exemplos

Onda rectangular

Uma onda rectangular representada na figura seguinte

squareWave.png
Onda quadrada
squareWave.png (10.57 KiB) Visualizado 5166 vezes


é um sinal periódico de período T e pode ser descrito, em [-T/2, T/2], analiticamente pela fórmula

f(x)=\begin{cases}
-E & \text{ se } -T/2\leq x\leq 0 \\ 
+E & \text{ se } \;\;\;\;\;\;\;\;\;0\leq x\leq T/2
\end{cases}

Vamos determinar a sua série de Fourier e analisar a convergência da série para a função, em particular, o efeito da descontinuidade na origem.

Como a onda é uma função ímpar em torno da origem, a sua série de Fourier será a soma de senos( funções ímpares ):

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n\sin\frac{n\pi s}{l},

com

b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(s)\sin\frac{n\pi s}{T/2}ds

=\frac{4}{T}\int_{0}^{T/2}f(s)\sin\frac{2n\pi s}{T}ds( pois f e \sin\frac{2n\pi s}{T} são ímpares; logo f(s)\sin\frac{2n\pi s}{T} é par)

=\frac{4E}{T}\int_{0}^{T/2}\sin\frac{2n\pi s}{T}ds

=\frac{-2E}{n\pi}\left [ \cos\frac{2n\pi s}{T} \right |_0^{T/2}

=\frac{2E}{n\pi}( 1- \cos(n\pi)  )

=\begin{cases}
\frac{4E}{n\pi}  $\text{ se }$ n\;\;  impar \\
0 \;\;\,\text{ se }$ n\;\;  par
\end{cases}

Logo, a série de Fourier desta onda quadrada é

f(x)=\frac{4E}{\pi}\left (\sin\frac{2\pi x}{T}+\frac{1}{3}\sin\frac{3\cdot 2\pi x}{T} + \frac{1}{5}\sin\frac{5\cdot 2\pi x}{T}+...\right )=\frac{4E}{\pi}\sum_{k=1,3,5,...}^{\infty} \sin \frac{k\cdot 2\pi x}{T}

O resultado obtido é interessante pois a série trigonométrica de Fourier que descreve a onda rectangular só apresenta harmónicas ímpares( k=1,3,5,..) decaindo a amplitude das mesmas com a ordem da harmónica 1/k.


Na figura seguinte, estão representadas as somas parciais S_1, S_3, S_5 e S_{43}( S_k é o somatório das k primeiras harmónicas da série ) da série de Fourier de uma onda quadrada com T=6 e E=1. Na vizinhança da descontinuidade em x = 0, as somas parcias parecem não convergir. Este fenómeno, muitas vezes observado em osciloscópios e dispositivos de análise de sinais é conhecido por fenómeno de Gibbs.

gibbs.png
Fenómeno de Gibbs
gibbs.png (33.66 KiB) Visualizado 5133 vezes


Para os interessados, isto deve-se à não convergência uniforme da série de Fourier em [-l,l]. Não se trata de erros numéricos! É mesmo defeito do modelo matemático usado.

Onda triangular...

Consideremos agora uma onda triangular representada na figura seguinte

Imagem

descrita analiticamente pela fórmula


f(t)=\begin{cases}
-\frac{4E}{T}t-2E    & \text{ se }\; -\frac{T}{2}\leq t\leq-\frac{T}{4}\\
\frac{4E}{T}           & \text{ se }\;-\frac{T}{4}\leq t\leq \frac{T}{4}\\
\frac{4E}{T}t-2E     & \text{ se }\;\;\;\;\;  \frac{T}{4}\leq t\leq \frac{T}{2}
\end{cases}

Procedendo como na alínea anterior, obtemos

f(t) =\frac{8E}{\pi^2}\sum_{k=1,3,5,\ldots}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{(k-1)}{2}} }{ k^2}\sin(k\omega{}t), onde \omega = \frac{2\pi}{T}

Neste caso, verificamos então que:

  • só existem harmónicas ímpares como esperado( o sinal é ímpar em torno da origem );
  • a amplitude das harmónicas cai com 1/k^2 em que k é a ordem da harmónica;
  • o termo (-1)^{\frac{(k-1)}{2}} é positivo para k=1,5,9,... e negativo para k=3,7,11,...

Pode verificar-se que cerca de 4 harmónicas já descrevem razoavelmente a forma da onda, uma vez que a amplitude das harmónicas decai com 1/k^2

Imagem
PS: Estão à vontade para alterar algo que achem estar desadequado ;)
última vez editado por ampat s Quinta Jan 20, 2011 6:00 pm, editado 14 vezes no total
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Re: Séries de Fourier

Mensagempor hexphreak em Terça Jan 18, 2011 12:50 pm

Olá André,

Obrigado pelo teu post. Está muito bom; espero que não te importes de ter apenas editado algum \LaTeX para ficar mais legível e para corrigir uma ou duas questões de notação :wink:

No entanto, uma vez que isto é apenas o Quark! e não a minha cadeira de Teoria de Sinal, acho que não é preciso tanto formalismo* para ganhar algum entendimento desta ferramenta poderosíssima :lol: Se me permites algumas sugestões, detalhes como a função ser mensurável ou L^2 e outros, que são, é claro, necessários do ponto de vista do rigor matemático, acabam por distrair um pouco das principais ideias aqui: a identificação entre uma função e um vector, a utilização de uma base de senos e co-senos para extrair frequências puras da função (que pode, já agora, ser explicada também como uma forma de aproximação de mínimos quadrados) e, é claro, o Teorema de Pitágoras :D (Teorema de Parseval, para quem não acha piada à Matemática ser toda a mesma).

Dito isto, acho que fazes bem em acrescentar um exemplo prático, com o cálculo da série de Fourier de uma função (sugiro uma onda rectangular, para evidenciar o efeito de Gibbs). Por outro lado, EDPs talvez já sejam um pouco pesadas demais :roll:


* Agora o Bruno vai-me bater, porque eu disse o contrário na resposta ao post inicial dele :P
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