Primitivas e Integrais

Fórum sobre técnicas matemáticas úteis na preparação olímpica

Primitivas e Integrais

Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Nov 30, 2006 11:41 pm

Primitivas

Comecemos pelo início: o que é uma primitiva?

Ora, como alunos do 12º ano, já todos vocês estão certamente familiarizados com o conceito de derivada. A primitiva é simplesmente o recíproco da derivada, isto é:

Seja f(x) uma função qualquer. Chama-se primitiva de f(x), e denota-se F(x), a uma função tal que F^\prime(x) = f(x).

Ora, como é sabido, para as derivadas há resultados que estabelecem a existência, unicidade e regras de cálculo das derivadas das funções diferenciáveis. Passar-se-á o mesmo para as primitivas?

Existência:

Não o vou provar aqui, mas não podemos garantir a existência da primitiva de uma função; cada caso é um caso.

Unicidade:

Se a primitiva de uma função f(x) existir, será ela única, isto é, verificar-se-á que se F^\prime (x) = f(x) e G^\prime (x) = f(x), então F(x) = G(x)?

A resposta é não, a primitiva de uma função não é única. Vejamos porquê:

Seja F(x) uma função qualquer, e seja G(x) = F(x) + C, sendo C uma constante arbitrária. Nestas condições, é evidente que G^\prime (x) = F^\prime (x) + C^\prime = F^\prime (x) + 0 = F^\prime (x). Portanto, se F(x) é uma primitiva de f(x), tem-se G^\prime (x) = F^\prime (x) = f(x), logo, por definição, G(x) é primitiva de f(x).

Ou seja, a primitiva de uma função não é única; dada uma função F(x) primitiva de f(x), qualquer função G(x) obtida por soma de uma constante a F(x) é também primitiva de f(x); isto é, a primitiva de uma função é única a menos de uma constante.

Cálculo:

Bem, não há garantia de existência nem de unicidade; haverá, pelo menos, regras gerais para o cálculo das primitivas, no caso de existirem?

Infelizmente, não, não há :P

Há, no entanto, métodos úteis em certos casos particulares, como a primitivação por partes e a primitivação por substituição. Não vou descrever estes métodos porque ainda não os conheço em pormenor, se algum veterano mais experiente nisto que eu quiser explicá-los, agradecia.

O que se costuma fazer, quando as funções a primitivar são relativamente simples, é aquilo a que se chama primitivação imediata (em português corrente, primitivação a olhómetro), que consiste essencialmente em olhar para a função e intuir qual será a sua primitiva. Naturalmente, este método depende da experiência e habilidade da pessoa.

E é essencialmente isto que tenho a dizer sobre primitivação. Explicarei a integração no próximo post.
última vez editado por Zé Teixeira s Quinta Mar 08, 2007 11:54 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor Zé Teixeira em Sexta Dez 01, 2006 1:43 am

Integrais

Agora começa a parte gira :)

Suponhamos que eu tenho uma função contínua num intervalo [a,b] e que quero achar a área compreendida entre as rectas x = a, x = b, y = 0 e o gráfico da função, isto é, que quero achar a área entre o gráfico da função e o eixo das abcissas no intervalo [a,b]:

Imagem

Posso começar por subdividir o intervalo [a,b] em intervalos mais pequenos, escolher o valor médio da função em cada um desses intervalos, e construir pequenos rectângulos com a largura do subintervalo considerado e a altura igual ao valor médio da função nesse intervalo. Calcula-se a área de cada rectângulo, soma-se e tem-se uma área aproximada da real:

Imagem

Ora, quanto mais pequenos forem os subintervalos, mais se aproxima a área calculada da área real. No limite quando a largura dos subintervalos tende para zero, a área calculada tende para a área real.

A área por baixo da curva de uma função f(x) no intervalo [a,b] define-se, então, como o integral de a a b de f(x), e escreve-se \int _{a}^{b} f(x) dx. Dito de um modo pouco preciso mas bastante intuitivo, o integral de a a b de f(x) é simplesmente a soma das áreas de rectângulos de largura infinitesimal (uma quantidade infinita de rectângulos destes, na verdade), ou seja, é a operação explicada acima de subdivisão e cálculo de áreas de rectângulos levada ao limite quando a largura dos intervalos (e portanto dos rectângulos) tende para zero.

Até agora tudo bem, mas o que fizemos foi apenas dar nomes às coisas; em vez de designar a área por S, passámos a chamar-lhe \int _{a}^{b} f(x) dx.

MAS!, e aqui é que está a razão da utilidade dos integrais, prova-se que:

\int _{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)

em que F(b) é a primitiva de f no ponto b e F(a) é a primitiva de f no ponto a.

O cálculo de uma área fica assim reduzido ao cálculo de uma primitiva.

EDIT: Como disse muito bem o Real, o integral definido de f(x) de a a b é único. A demonstração é imediata, visto que, pelo que dissemos acima, no post sobre primitivas, a primitiva de uma função é única a menos de uma constante. Portanto, se tivermos duas primitivas de f(x), denotadas F(x) e G(x) = F(x) + C, verifica-se a igualdade

G(b) - G(a) = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)

e portanto o integral definido não depende de C, logo é único. Normalmente, no cálculo de um integral, primitiva-se a função e faz-se C = 0, para simplificar as contas.





Note-se, no entanto, que os integrais não servem só para calcular áreas. Em qualquer situação em que se queira somar uma quantidade infinita de parcelas infinitesimais, a ferramenta a usar é o integral. Vou dar um exemplo (que os veteranos vão com certeza reconhecer das aulas de electromagnetismo :P ):



Imaginemos que temos um fio feito de um material condutor eléctrico com comprimento l e espessura desprezável. Suponhamos que o fio está electricamente carregado (atenção, a carga no fio está parada; não há corrente, há carga eléctrica, apenas) com uma carga total Q e que a densidade de carga é, portanto, \frac{Q}{l} = \lambda. Consideremos agora um ponto P externo ao fio. Queremos calcular o campo eléctrico E criado no ponto P pela carga distribuída no fio. Ora, conhecemos a lei de Coulomb para o campo eléctrico, mas temos um problema: a lei só nos dá o campo eléctrico criado num ponto por uma carga pontual, e neste caso temos uma distribuição contínua de carga ao longo do fio. Como resolvemos este problema?



Comecemos por fazer uma operação semelhante à que fizemos quando quisemos achar a área por baixo do gráfico: dividamos o fio em pequenos segmentos iguais. Chamemos \delta x ao comprimento de um desses segmentos. É evidente que, neste caso, a carga distribuída nesse pequeno segmento de fio é \lambda \delta x. Se o segmento de fio tivesse comprimento zero (ou infinitesimal...), teríamos uma carga pontual com este valor, e portanto poderíamos usar a lei de Coulomb para calcular o campo criado por este segmento de fio no ponto P e, pelo princípio da sobreposição, calcular os campos criados pelos outros segmentos e somar os campos todos, obtendo assim o campo resultante.



Mas temos um problema, o segmento de fio não é infinitesimal... ainda. Se passarmos ao limite em que \delta x\to 0, podemos usar a lei de Coulomb. Temos então um problema diferente: agora temos uma infinidade de segmentos de fio, não os podemos somar todos... ou podemos?



Basta usar a nossa nova ferramenta, o integral. Queremos somar uma quantidade infinita de segmentos infinitesimais, portanto integramos sobre o fio, de um extremo a outro, e voilà.



Vejamos como. Trabalhemos a duas dimensões, num plano (o fio e o ponto em que queremos achar o campo eléctrico definem um plano, portanto não precisamos de três coordenadas), e esteja uma extremidade do fio num ponto de abcissa a e a outra num ponto de abcissa b (sendo que o fio é paralelo ao eixo das abcissas, portanto a ordenada é igual nas duas extremidades). Seja dE_x a porção infinitesimal de campo eléctrico na direcção do eixo das abcissas criado no ponto P por um segmento de fio, e analogamente para dE_y. Como o campo total é a soma de todas as porções infinitesimais de campo (um infinidade delas!), temos que E_x = \int  _{a}^{b} dE_x e E_y = \int  _{a}^{b} dE_y (porque dE_x e dE_y são funções de x, logo integramos ao longo de x).



Basta agora acharmos uma expressão que nos dê a porção de campo eléctrico em função da posição x do segmento de fio considerado e integrar (na prática acha-se a porção de campo em função do ângulo entre a distância do ponto P ao fio e o segmento infinitesimal considerado e integra-se para o ângulo, é mais fácil assim). Não vou fazer isto aqui, porque envolve trigonometria e etc., e para se perceber bem requer alguns desenhos; além disso, o objectivo deste post era explicar integrais, não resolver o problema do fio.



Espero que com este post se consiga perceber o que é um integral, para que serve e como se usa. Qualquer dúvida, postem aqui.
última vez editado por Zé Teixeira s Sexta Dez 01, 2006 10:14 pm, editado 2 vezes no total
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Mensagempor Andre França em Sexta Dez 01, 2006 5:39 pm

Esta' muito bom, Ze'!
Sim, de facto e' fundamental aprender nem que seja o mínimo de integração, e no fundo e' tão simples quanto derivar! :)
Percam tempo a ler isto, vale a pena!
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Mensagempor Real em Sexta Dez 01, 2006 7:45 pm

Sim senhor!! Está muito bom o teu post!
Conseguiste resumir muito bem um assunto que é, por natureza, muito extenso :P
Só quero deixar um ou dois comentários:

1) Apesar da primitiva não ser única, o integral definido é único (Zé prova isso: é fácil).

2) O teorema que afirma \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) é o Teorema Fundamental do Cálculo. Este teorema é provado na cadeira de Cálculo I, mas podem tentar ler: http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_Theorem_of_Calculus

Este teorema foi generalizado pelo Lord Kelvin (o Senhor da termodinâmica) nesta coisa belíssima:

\int_M d\omega = \oint_{\partial M} \omega

A que se chama o teorema de Stokes!
Talvez os veteranos consigam encontrar alguma analogia com o teorema de Gauss e o teorema de Stokes (não generalizado).

3) Zé, acho que a referência ao electromagnetismo no último post tá um pco confusa :X Faz um esquema no paint para ilustrar um pouco isso! Escreve também um exemplo: fio infinito ou a espira carregada.
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Mensagempor Zé Teixeira em Sexta Dez 01, 2006 8:15 pm

Quando puder (talvez hoje), faço os diagramas e as contas e explico o exemplo do fio carregado com mais detalhe. Achei bom inclui-lo para mostrar como se utilizam integrais na prática, acho que ilustra bem a ideia.
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Mensagempor jap em Sexta Dez 01, 2006 9:35 pm

Zé,
Obrigado pelos teus posts que são muito úteis :D, decerto, para os caloiros.
Sugiro que se trate das equações diferenciais num post separado, para não ficar muito grande...

Detectei um pequeno problema no teu último post sobre integrais.

A expressão

E_x = \int_a^b dE_xdx

não está lá muito correcta. Estás a ver porquê? :wink:
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Mensagempor Real em Sexta Dez 01, 2006 9:56 pm

Vou tentar explicar aqui como se integra por partes e por substituição.
Estes métodos não são precisos para as olimpíadas, porque normalmente os integrais mais difíceis são dados.
Contudo, para quem estiver interessado em aprender mais alguma coisa: aqui vai.
De modo a que isto se torne intuitivo e simples, vou fazer coisas que põe os matemáticos com os cabelos em pé (mas também é isso que nós queremos não é? :P)

Antes de mais, tenho de avisar que este post tem alguma notação que é diferente da dos posts do Zé!
A primitiva de uma função corresponde ao seu integral indefinido, que é denotado por \int f(x) dx.
Ao que o Zé chama de integral, eu chamo de integral definido e é denotado por \int_a^b f(x) dx


Integração por partes

Ora, toda a gente sabe como se deriva o produto de duas funções:

(f(x).g(x))'=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)

Esta igualdade também pode ser escrita sob a forma:

f'(x).g(x)=(f(x).g(x))'-f(x).g'(x)

Se o membro da esquerda é igual ao membro da direita, então a derivada do membro da esquerda também é igual à do membro da direita. Assim sendo, o mesmo se aplica ao integral!
Integrando:

\int f'(x).g(x)dx=\int (f(x).g(x))'dx-\int f(x).g'(x)dx

Mas, pelo teorema fundamental do cálculo:

\int (f(x).g(x))'dx = f(x).g(x) + C

Substituindo vem:

\int f'(x).g(x)dx=f(x).g(x)-\int f(x).g'(x)dx

(neste caso, pode-se omitir a constante (porquê?))

Esta fórmula pode ser usada para simplificar primitivas!
Não se assustem :wink:, aqui vai um exemplo:

Exemplo

\int xe^x dx = ?

Vamos identificar f(x)=x e g'(x)=e^x
Então vem que: f'(x)=1 e g(x)=e^x
Usando a fórmula que se deduziu acima:

\int xe^x dx = xe^x -\int 1e^x dx=xe^x-e^x

Et voilá!


Integração por substituição

Em termos formais, este método é mais complicado que o anterior. No entanto, com o exemplo que vou dar a seguir vai ficar tudo mais claro! Por isso, não percam a paciência! :wink:

Queremos calcular o integral:

\int_a^b f(x) dx

Mas imaginem que interessa fazer a substituição:

x=g(u)

Temos então de calcular:

c=g^{-1}(a) e d=g^{-1}(b)

\frac{dx}{du}=g'(u)

Agora peço a quem seja mais sensível que feche os olhos, pois a seguinte equação contém violência explícita :twisted: :

\frac{dx}{du}=g'(u) \Leftrightarrow dx=g'(u) du

Substituindo no integral inicial temos:

\int_a^b f(x) dx = \int_c^d f(g(u))g'(u)du

Exemplo 1

\int (2-x)^3 dx=?

Fazendo u=2-x e du=-dx e substituindo, obtém-se:

\int (2-x)^3 dx=-\int u^3 du = - \frac{1}{4} u^4 + C = -\frac{1}{4}(2-x)^4+C'

Em que se usou: \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} +C

Exemplo 2

\int_2^{\sqrt{e+3}}\frac{4x}{x^2-3}dx=?

Seja u=x^2-3
Então, du=2xdx e c=2^2-3=1, d=e+3-3=e

\int_2^{\sqrt{e+3}}\frac{4x}{x^2-3}dx= \int_1^e \frac{2}{u} du = 2(\ln e-\ln 1)=2(1-0)=2

Em que se usou: \int \frac{1}{x} dx = \ln x


Como podem verificar, estas duas técnicas simplificam imenso o cálculo dos integrais.
A dificuldade é mesmo saber que funções f(x) e g(x) ou u escolher.
Isto é algo que se aprende só com a prática! No entanto, espero que tenham percebido a essência da coisa!

Os sites sobre o assunto no wikipedia estão bastante bons! Dêm uma vista de olhos:

http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts
http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution

Espero que isto vos tenha sido útil para aprenderem mais alguma coisa sobre integrais :wink:
Se tiverem dúvidas, não perceberem algum passo, ou quiserem saber mais algum pormenor, por favor falem comigo ou com o Zé!!
Todos os posts são benvindos :wink:
última vez editado por Real s Sexta Dez 01, 2006 10:09 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor jap em Sexta Dez 01, 2006 10:04 pm

Boa, Diogo!

Com estas 2 técnicas básicas de integração, e boa intuição, um Físico pode ir mesmo muito longe!
PS- As violências explícitas, em particular contra a matemática pura, estéril e asséptica, são bem-vindas! :P
PS2 - Esclareço: não tenho nada contra a matemática pura - só tenho contra a pura, estéril e asséptica! :lol:
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Mensagempor Zé Teixeira em Sexta Dez 01, 2006 10:06 pm

jap Escreveu:Detectei um pequeno problema no teu último post sobre integrais.

A expressão

E_x = \int_a^b dE_xdx

não está lá muito correcta. Estás a ver porquê? :wink:


Claro, distracção minha. Como dE_x já tem um factor dx, dE_xdx teria um factor dx^2, o que não está correcto. A expressão é

E_x = \int_a^b dE_x

Vou editar no post original, obrigado pela correcção. :)
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Mensagempor Real em Sexta Dez 01, 2006 10:13 pm

Prof. Paixão, concordo totalmente consigo!! :D
Gosto também de acrescentar o adjectivo barroca :shock: : às vezes é tanto o floreado introduzido que as conclusões são tudo menos claras! :?
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Mensagempor jvstorres em Sábado Dez 02, 2006 2:36 am

Recomendo vivamente a leitura do livro de cálculo do Tom Apostol! Apesar de parecer um bocadinho "cinzento", há capítulos que ainda não encontrei mais bem explicados em lado nenhum! :)

Para os que gostam de livros mais "coloridos", o Stewart é bastante recomendado pelos "ainginheiros" da FEUP... :lol:
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Mensagempor jmgb em Segunda Dez 11, 2006 3:10 am

Aqui no Técnico é comum comprar-se o livro "Introdução à Análise Matemática" de Jaime Campos Ferreira. No entanto, gosto de ver a maior parte das coisas no Apostol.

Quando ainda restam dúvidas... Google.com! :)
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Mensagempor Real em Segunda Dez 11, 2006 9:16 pm

Hmmm... Cheira-me que o Sr. Campos Ferreira é do IST não? :P
Cá eles recomendam o Calculus do Adams... Mas enfim.. é algo para pensar tirar fotocópias...
Não há nada que ultrapasse o http://www.wikipedia.org! MUUITO recomendado!
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Mensagempor jmgb em Segunda Dez 11, 2006 10:06 pm

Pois, o Campos Ferreira é de facto professor catedrático (jubilado) do IST. A Wikipedia às vezes tem gato... convém ir conferindo com bibliografia de referência... Em assuntos matemáticos, costumo preferir o Mathworld (http://www.mathworld.com) da Wolfram à Wikipedia...
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Mensagempor vbmaster em Segunda Dez 25, 2006 5:48 pm

Sim senhor, gostei de ler... comecei a pegar nos livros que me foram entretanto oferecidos para a preparação, e após umas breves leituras fiquei colado ao livro azul de "Introdução à Física" feito por professores do técnico. Isto porque é o que se assemelha menos a um manual e mais a um livro que se pode pegar e ir lendo sem nunca perder o interesse.

Entretanto deparei-me logo com certas teorias, como uma que me fascinou particularmente pela sua simplicidade estúpida, o príncipio de Fermat, de que as trajectórias da física são sempre as que minimizam o integral da função.

Ora, eu não sabia o que era integrais, logo fui ler ao apendice do livro de exerícios de física também oferecido, mas entretanto ainda não tinha chegado lá, estava agora a ler coisas sobre derivadas parcias, que também me pareceu simples e engraçado.

Obrigado pelo post Zé Teixeira. ;)
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