Equações diferenciais

Fórum sobre técnicas matemáticas úteis na preparação olímpica

Equações diferenciais

Mensagempor Zé Teixeira em Domingo Fev 11, 2007 2:40 pm

Equações diferenciais

Ora, convém começar por explicar o que é, afinal, uma equação diferencial.

Numa equação algébrica normal, temos uma incógnita que queremos determinar, isto é, queremos achar um número (normalmente real ou complexo) que satisfaça a equação. Numa equação diferencial também queremos determinar uma incógnita, só que neste caso essa incógnita não é um número, mas sim uma função.

Uma equação diferencial relaciona uma função com as suas derivadas (de qualquer ordem). Um exemplo de equação diferencial é:

5\frac{d^8f(x)}{dx^8} + \pi \frac{d^6f(x)}{dx^6} + e\frac{d^4f(x)}{dx^4} + 42\frac{d^3f(x)}{dx^3} + f(x) = \phi.

Uma função f que satisfaça aquela equação, isto é, uma função para a qual a equação acima seja verdadeira para todo o x (ou para todo o x no intervalo [a, b], se quisermos uma função que apenas satisfaça a equação nesse intervalo) é solução da equação.

Vejamos alguns tipos simples mas muito úteis de equações diferenciais.


Equações diferenciais ordinárias

Uma equação diferencial (de agora em diante, e.d.) ordinária é uma relação que contém funções de uma variável independente, e uma ou mais das suas derivadas. O exemplo acima é uma e.d. ordinária, porque f é função de uma só variável, x. Neste post vou tratar apenas de e.d. ordinárias, uma vez que são as mais simples e as únicas que nos interessam por agora.


Equações diferenciais lineares

Uma e.d. linear é uma e.d. em que só aparecem as primeiras potências da função e das suas derivadas, isto é:

\frac{df(x)}{dx} = f(x) é linear, porque nenhum dos termos é quadrático (ou de grau superior), ao passo que

\frac{df(x)}{dx} = f^2(x) é não linear, porque o termo de ordem zero é uma potência de grau diferente de 1.


Equações diferenciais homogéneas

Se em todos os termos de uma e.d. aparece a função ou uma sua derivada, isto é, se a equação não tem termo independente, ela diz-se homogénea, isto é:

\frac{d^2f(x)}{dx^2} + f(x) = 0 é homogénea, mas

\frac{df(x)}{dx} + 2f(x) = 3,14159 não é, porque o termo independente não é zero (é quase \pi, mas não exactamente :P).



Notemos que os três tipos acima referidos não são mutuamente exclusivos, isto é, uma e.d. pode ser simultaneamente ordinária, linear e homogénea. Equações deste tipo são bastante fáceis de resolver. Vejamos porquê:

Suponhamos que temos a seguinte equação

\frac{df(x)}{dx} - f(x) = 0

Queremos achar uma solução desta equação que seja válida para todo o x. Como procedemos? Podemos começar por escrever a equação na forma

\frac{df(x)}{dx} = f(x)

Agora é fácil perceber o significado da equação: a função f é igual à sua derivada. Mas conhecemos bem esta função: é a exponencial e^x !

Tendo encontrado uma solução desta equação, podemos tentar uma ligeiramente mais complicada. Experimentemos resolver a equação seguinte:

\frac{df(x)}{dx} - \lambda f(x) = 0

Tal como anteriormente, escrevamo-la na forma

\frac{df(x)}{dx} = \lambda f(x)

Inspirados no resultado anterior, facilmente intuimos que uma solução é a exponencial e^{\lambda x}.


Bem, já que está a ser fácil achar soluções, vamos adicionar mais termos de ordens superiores à equação. Tentemos agora resolver esta:

\lambda _1 \frac{d^2f(x)}{dx^2} + \lambda _2 \frac{df(x)}{dx} + \lambda _3 f(x) = 0

Hm, esta já não é tão imediata... a solução parece ser uma espécie de exponencial, visto que temos uma relação bastante parecida com as equações que acabámos de resolver, mas não é tão fácil intuir qual a forma exacta da exponencial que satisfaz a condição. Bem, vamos então tentar uma da forma e^{kx}, a ver o que conseguimos. Supondo que a solução é desta forma, substituamos na equação:

\lambda _1 \frac{d^2e^{kx}}{dx^2} + \lambda _2 \frac{de^{kx}}{dx} + \lambda _3 e^{kx} = 0 \Leftrightarrow \lambda _1 k^2 e^{kx} + \lambda _2 ke^{kx} + \lambda _3 e^{kx} = 0

Reparemos que apareceu o factor e^{kx} em todos os termos (no do membro direito também, porque 0 = 0e^{kx}). Dá mesmo vontade de dividir tudo pela exponencial para simplificar; mas temos de ter cuidado, não podemos dividir por zero. Ora, a exponencial nunca se anula, logo podemos sempre dividir por e^{kx} para simplificar a equação! Ficamos portanto com

\lambda _1 k^2 + \lambda _2 k + \lambda _3 = 0

Ficámos com uma equação polinomial do segundo grau em k (chamada equação característica), que sabemos ter sempre soluções que podemos achar trivialmente. As soluções são k = \frac{-\lambda _2 + \sqrt{\lambda _2 ^2 - 4\lambda _1 \lambda _3}}{2\lambda _1} e k = \frac{-\lambda _2 - \sqrt{\lambda _2 ^2 - 4\lambda _1 \lambda _3}}{2\lambda _1}. Se há valores de k que satisfazem a equação característica, então exponenciais da forma e^{kx}, sendo k solução daquela, são soluções da equação diferencial que queríamos resolver.

Generalizando, uma e.d. ordinária linear homogénea de ordem n (a ordem de uma e.d. é a ordem da derivada de maior ordem que aparece nela) da forma

\lambda_1 \frac{d^nf(x)}{dx^n} + \lambda_2 \frac{d^{n-1}f(x)}{dx^{n-1}} + ... + \lambda_n \frac{df(x)}{dx} + \lambda_{n+1} f(x) = 0

tem uma equação característica polinomial de grau n com os mesmos coeficientes:

\lambda_1 k^n + \lambda_2 k^{n-1} + ... + \lambda_n k + \lambda_{n+1} = 0

e as soluções da equação diferencial são da forma e^{kx}, com k solução da equação característica. Como esta última tem n soluções distintas (não necessariamente reais), também a e.d. tem n soluções distintas. Para quem sabe álgebra linear, estas n funções-solução são linearmente independentes e formam uma base para o espaço das soluções da e.d.. Para quem não percebeu esta frase (é provável que os caloiros não a tenham percebido; não se preocupem, é perfeitamente normal):

Uma função da forma c_1f_1(x) + c_2f_2(x) + ... + c_nf_n(x), sendo f_i(x),~i = 1, 2, 3,...,n as soluções encontradas através da equação característica, é também solução da e.d., e é chamada solução geral da equação diferencial. É geralmente a solução geral que queremos achar em problemas de Física, para depois determinarmos os coeficientes c_1, c_2, ..., c_n através das condições iniciais.


NOTA: Se as exponenciais encontradas forem complexas, não há problema nenhum, basta notar que e^{ix} = \cos x + i\sin x (ver o post do Diogo sobre isto). Normalmente "deita-se fora" a parte imaginária, i\sin x, no fim dos cálculos, por não ter significado físico.


ODEs lineares não homogéneas

O método dos polinómios característicos descrito acima só funciona, como podem verificar, para ODEs lineares homogéneas. Se tivermos uma ODE linear não homogénea cujo termo independente seja uma constante, isto é, uma ODE da forma

\lambda_1 \frac{d^nf(x)}{dx^n} + \lambda_2 \frac{d^{n-1}f(x)}{dx^{n-1}} + ... + \lambda_n \frac{df(x)}{dx} + \lambda_{n+1} f(x) = k

com k constante em relação ao x, podemos transformá-la numa ODE homogénea com uma simples substituição de variável. Vejamos como:

Imaginemos que queremos resolver a ODE seguinte

\frac{df(x)}{dx} + f(x) = k

Passemos a constante para o lado esquerdo, ficando assim com

\frac{df(x)}{dx} + f(x) - k = 0

Escrita nesta forma, a equação já tem aspecto de homogénea... mas ainda não é realmente homogénea, porque o termo independente não desapareceu. Façamos então a seguinte substituição:

g(x) = f(x) - k

Como k é constante, é \frac{dg(x)}{dx} = \frac{df(x)}{dx}, logo a equação fica

\frac{dg(x)}{dx} + g(x) = 0

Esta ODE já é homogénea, agora podemos resolvê-la pelo método do polinómio característico para achar a forma geral de g(x) e depois fazer a substituição na ordem inversa para achar a forma geral de f(x).

Claro que as coisas se complicam ligeiramente se houver coeficientes envolvidos, mas não há nenhuma ideia nova em jogo, basta fazer uma substituição e depois tentar achar as derivadas de f(x) em função das derivadas de g(x).

Exemplo:

Resolver a seguinte ODE:

\lambda_1 \frac{df(x)}{dx} + \lambda_2 f(x) = k

Passemos a constante para a esquerda:

\lambda_1 \frac{df(x)}{dx} + \lambda_2 f(x) - k = 0

Fazendo a substituição g(x) = \lambda_2 f(x) - k, e notando que é \frac{dg(x)}{dx} = \lambda_2 \frac{df(x)}{dx} \Leftrightarrow \frac{\frac{dg(x)}{dx}}{\lambda_2} = \frac{df(x)}{dx}, ficamos com:

\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \frac{dg(x)}{dx} + g(x) = 0

que podemos agora resolver pelo polinómio característico, fazendo a substituição inversa no fim para achar f(x).

NOTA: Este método não funciona se o termo "independente" for uma função de x, isto é, não funciona para ODEs da forma

\lambda_1 \frac{d^nf(x)}{dx^n} + \lambda_2 \frac{d^{n-1}f(x)}{dx^{n-1}} + ... + \lambda_n \frac{df(x)}{dx} + \lambda_{n+1} f(x) = u(x)

sendo u(x) uma função de x conhecida (por exemplo, \cos x).
última vez editado por Zé Teixeira s Segunda Abr 30, 2007 2:02 am, editado 7 vezes no total
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Mensagempor spmatos_174 em Domingo Fev 11, 2007 2:51 pm

Obrigada Zé!!!

Super útil... Hehe!!! Os ex-olímpicos andam a "mimar" muito nos olímpicos deste ano!
:wink:
"A Física é tão linda que até dá uma coisa no coração quando se escreve uma equação física profunda." [Um professor de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa] =)
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Mensagempor jap em Domingo Fev 11, 2007 3:47 pm

Zé,

Obrigado pelo teu muito útil post sobre equações diferenciais. :D

Com as tuas dicas e com um bocadinho de intuição e treino, tenho a certeza que os nossos olímpicos vão poder resolver imensos problemas que não lhes seriam facilmente acessíveis sem estes conhecimentos sobre ODEs (ODE = sigla 'oficial ' pela qual os físicos e os matemáticos designam as equações diferenciais ordinárias (Ordinary Differential Equation).

Quando ouvirem alguém queixar-se

"Aquela ODE está a dar-me cabo do juízo :evil: , vou ter de a "meter" no computador" :shock:

já ficam a saber que uma ODE não é um poema mas uma dessas equações e que os computadores são muito bons a resolvê-las... Farei um post em breve sobre como resolver ODEs no computador....
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Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Mar 15, 2007 7:13 pm

Update.
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Mensagempor jap em Quinta Mar 15, 2007 7:41 pm

Zé Teixeira Escreveu:Update.


Zé, obrigado pelo update! :D
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Mensagempor Zé Teixeira em Sábado Mar 24, 2007 10:33 pm

Hm, estou curioso para ver o post sobre resolução de ODEs em computador de que falou... falámos brevemente sobre o método de Runge-Kutta nas aulas de Programação, o semestre passado, mas não chegámos a fazer nenhum programa sobre o assunto, pelo que fiquei sem perceber muito bem o método.

Já tentei ler mais sobre o assunto na Wikipedia, mas, como acontece com quase todos os artigos de matemática, a página sobre o método de Runge-Kutta está muito confusa.
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Mensagempor jap em Domingo Mar 25, 2007 12:55 pm

Zé Teixeira Escreveu:Hm, estou curioso para ver o post sobre resolução de ODEs em computador de que falou... falámos brevemente sobre o método de Runge-Kutta nas aulas de Programação, o semestre passado, mas não chegámos a fazer nenhum programa sobre o assunto, pelo que fiquei sem perceber muito bem o método.

Já tentei ler mais sobre o assunto na Wikipedia, mas, como acontece com quase todos os artigos de matemática, a página sobre o método de Runge-Kutta está muito confusa.


Ok, farei um post sobre resolução numérica de ODEs na primeira oportunidade.
Estou fora, num congresso, por isso terá de esperar uns dias... :cry:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Terça Mar 18, 2008 10:24 pm

Ao reler agora este tópico acerca das equações diferenciais, lembrei-me da maneira usada pelo Feynman, para derivar expressões muito complicadas, com funções que fossem do tipo:

f=k.u^a.v^b.w^c

Esta demonstração aparece nas Tips...se não conhecerem posso pô-la aqui.. :wink:
e^{ix}=cos x + i\,sin x
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Mensagempor eumesmo em Domingo Abr 20, 2008 9:04 pm

jap Escreveu:já ficam a saber que uma ODE não é um poema mas uma dessas equações e que os computadores são muito bons a resolvê-las... Farei um post em breve sobre como resolver ODEs no computador....


o matlab também ajuda... :D
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Re: Equações diferenciais

Mensagempor bob em Domingo Jun 06, 2010 8:49 pm

Olá,

Estou com dificuldades com o método de Runge-Kutta. Alguém poderia me ajudar, por favor?

Abraços a todos.
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Re: Equações diferenciais

Mensagempor jap em Domingo Jun 06, 2010 8:57 pm

bob Escreveu:Olá,

Estou com dificuldades com o método de Runge-Kutta. Alguém poderia me ajudar, por favor?

Abraços a todos.


Que tipo de dificuldades? Em compreender o algoritmo? Na sua utilização? Em encontrar um programa que codifique este algoritmo? :roll:
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Re: Equações diferenciais

Mensagempor Ivo_Timóteo em Segunda Jun 07, 2010 11:10 am

Deves estar à procura do RK4 pelo que te indico a página da Wikipédia:

Runge-Kutta

Se percebes para que serve o algoritmo, então a informação na Wikipedia é o mais clara possível :)
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Re:

Mensagempor zeferino em Quinta Ago 12, 2010 1:05 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Ao reler agora este tópico acerca das equações diferenciais, lembrei-me da maneira usada pelo Feynman, para derivar expressões muito complicadas, com funções que fossem do tipo:

f=k.u^a.v^b.w^c

Esta demonstração aparece nas Tips...se não conhecerem posso pô-la aqui.. :wink:


Como é que é então essa maneira do Feynman para derivar essas expressões?
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Re: Re:

Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Ago 13, 2010 10:33 pm

zeferino Escreveu:
Bruno Oliveira Escreveu:Ao reler agora este tópico acerca das equações diferenciais, lembrei-me da maneira usada pelo Feynman, para derivar expressões muito complicadas, com funções que fossem do tipo:

f=k.u^a.v^b.w^c

Esta demonstração aparece nas Tips...se não conhecerem posso pô-la aqui.. :wink:


Como é que é então essa maneira do Feynman para derivar essas expressões?


Ui quanto tempo lá vai lol.

Zeferino, agora estou fora de Lisboa e não tenho comigo as Tips, também não decorei a maneira, mas assim que estiver disponivel coloca-a aqui. Mas, sinceramente, não a acho nada de especial. É só uma notação diferente para organizar o cálculo da derivação, mas de qualquer forma coloco-a aqui assim que estiver disponivel para o fazer.

Abraços e continuação de boas férias para toda a comunidade quarkiana. :D
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Re: Re:

Mensagempor zeferino em Sexta Jan 14, 2011 12:41 am

Bruno Oliveira Escreveu:
zeferino Escreveu:
Bruno Oliveira Escreveu:Ao reler agora este tópico acerca das equações diferenciais, lembrei-me da maneira usada pelo Feynman, para derivar expressões muito complicadas, com funções que fossem do tipo:

f=k.u^a.v^b.w^c

Esta demonstração aparece nas Tips...se não conhecerem posso pô-la aqui.. :wink:


Como é que é então essa maneira do Feynman para derivar essas expressões?


Ui quanto tempo lá vai lol.

Zeferino, agora estou fora de Lisboa e não tenho comigo as Tips, também não decorei a maneira, mas assim que estiver disponivel coloca-a aqui. Mas, sinceramente, não a acho nada de especial. É só uma notação diferente para organizar o cálculo da derivação, mas de qualquer forma coloco-a aqui assim que estiver disponivel para o fazer.

Abraços e continuação de boas férias para toda a comunidade quarkiana. :D


Já vi nas Lectures (e nas tips) a resolução desse tipo de equações:

Usando a notação do livro:

Se

s=u^a.v^b.w^c...

\frac{ds}{dt}=s(\frac{a}{u} \frac{du}{dt}+\frac{b}{v} \frac{dv}{dt}+\frac{c}{w} \frac{dw}{dt}+...)
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