Mudanças de variável no cálculo

Fórum sobre técnicas matemáticas úteis na preparação olímpica

Mudanças de variável no cálculo

Mensagempor robespierre em Sexta Nov 20, 2009 9:53 pm

Suponhamos que queremos determinar o trabalho produzido por uma força sobre um dado corpo entre x_1 e x_2, a uma dimensão portanto:

W_F= \int_ {x_1}^{x_2} F dx = \int_ {x_1}^{x_2} ma  dx

Como a= \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v \frac{dv}{dx}

Substituindo na equação anterior,

W_F= \int_ {x_1}^{x_2} m  \frac{dv}{dx}v dx

Cortando os dx, fica

\int_ {v_1}^{v_2} mv dv

que vai depois dar o conhecido resultado

\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{1}{2}mv_2^2

Onde está então a minha dúvida? Está na operação de cortar osdx. Sempre pensei que, da mesma forma que \frac{dx}{dt} não é verdadeiramente uma fracção, só uma maneira de escrever "derivada de x em ordem a t", então\int F dx também não é o integral do produto de F por x. Contudo, no caso acima, que presumo esteja certo, assumimos que F dx é mesmo um produto. Isto é um truque sujo, que se usa para trocar variáveis, ou é mesmo verdade? Qual o verdadeiro significado de, por exemplo, dx?
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Re: Mudanças de variável no cálculo

Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Nov 20, 2009 10:15 pm

Creio que isso depende do contexto... :roll: .

Por exemplo, se quiseres achar o volume da esfera (centrada em (0,0,0) com um integral, podes pensar em metade da esfera, i.e., limite inferior do integral a valer 0 e superior a valer R (raio da esfera). Assim, podes ainda assumir que o volume da semi-esfera é a soma de infinitos cilindros com espessura considerada infinitesimal.

Com um desenho facilmente se chega a:

V_{semi-esfera}=\displaystyle \int_{0}^{R} \pi \, \left(- z^2 + R^2\right) dz

Neste caso, o dz, que formalmente representa uma integração em ordem a Z, vai ser a altura (infinitesimal) dos infinitos cilindros... :roll:
e^{ix}=cos x + i\,sin x
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Re: Mudanças de variável no cálculo

Mensagempor robespierre em Sexta Nov 20, 2009 11:21 pm

Olá Bruno,

Obrigado pela resposta. Não me consegui explicar bem :( . O que queria perguntar era se dx, por exemplo, é uma espécie de \Delta x infinitesimal, que se soma, subtrai ou se multiplica (Ok, o integral é definido assim), ou se é só um sinal, como +, ou -, para mostrar que se está a derivar em ordem a x.
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Re: Mudanças de variável no cálculo

Mensagempor jap em Sexta Nov 20, 2009 11:28 pm

robespierre Escreveu:Olá Bruno,

Obrigado pela resposta. Não me consegui explicar bem :( . O que queria perguntar era se dx, por exemplo, é uma espécie de \Delta x infinitesimal, que se soma, subtrai ou se multiplica (Ok, o integral é definido assim), ou se é só um sinal, como +, ou -, para mostrar que se está a derivar em ordem a x.


Se perguntares a um matemático a resposta é um redondo não; se perguntares a um físico, obterás um redondo sim. :lol: Já desde o tempo de Newton e Leibniz que perdura este despique... :lol:

Don't worry, é possível demonstrar o teorema da energia sem fazer "truques sujos" com os dx (alguém se candidata?); não que ganhes muito em proceder com maior rigor matemático, os cálculos que fizeste não são assim tão marados quanto isso! :lol:
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Re: Mudanças de variável no cálculo

Mensagempor robespierre em Sexta Nov 20, 2009 11:42 pm

Se perguntares a um matemático a resposta é um redondo não; se perguntares a um físico, obterás um redondo sim. :lol: Já desde o tempo de Newton e Leibniz que perdura este despique... :lol:

Don't worry, é possível demonstrar o teorema da energia sem fazer "truques sujos" com os dx (alguém se candidata?); não que ganhes muito em proceder com maior rigor matemático, os cálculos que fizeste não são assim tão marados quanto isso! :lol:


Ainda bem, era a resposta que eu queria ouvir :D
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Re: Mudanças de variável no cálculo

Mensagempor Ângela Guerra em Sábado Nov 21, 2009 12:17 pm

Eu fiz a demonstração, mas em função de t, que me facilita um pouco os cálculos. Agora não tenho tempo de a escrever (por causa do LaTeX :XD ), mas posso postar mais tarde. Usei integração por partes.
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Re: Mudanças de variável no cálculo

Mensagempor Ângela Guerra em Sábado Nov 21, 2009 2:03 pm

Então aí vai:

W_{F}= \int m \frac{dv}{dt} dx
W_{F}= \int m \frac{dv}{dt} v dt
W_{F}=m \int \frac{dv}{dt} v dt
W_{F}=m \frac {v_{B}^{2}}{2} - m \frac {v_{A}^{2}}{2}

(Esqueçam a integração por partes. Ando com a mania de complicar o que é simples...
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Re: Mudanças de variável no cálculo

Mensagempor jap em Sábado Nov 21, 2009 3:43 pm

Ângela Guerra Escreveu:Então aí vai:

W_{F}= \int m \frac{dv}{dt} dx
W_{F}= \int m \frac{dv}{dt} v dt
W_{F}=m \int\frac{dv}{dt}v dt
W_{F}=m \frac {v_{B}^{2}}{2} - m \frac {v_{A}^{2}}{2}

(Esqueçam a integração por partes. Ando com a mania de complicar o que é simples...


E sem cortar os dt's porque a primitiva d ev(t)\frac{dv}{dt} é \frac{v(t)^2}{2}... :wink:
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