Tetravectores

Fórum sobre técnicas matemáticas úteis na preparação olímpica

Tetravectores

Mensagempor hexphreak em Terça Jul 28, 2009 9:55 pm

Em relatividade restrita, é bastante comum a utilização de um certo formalismo matemático (métrica de Minkowski, grupos de Lorentz e de Poincaré, etc.) que tem como uma das suas ferramentas mais úteis e acessíveis o tetravector. Um tetravector é simplesmente um vector a quatro dimensões, no espaço de Minkowski, que é invariante em relação às transformações de Lorentz. O que isto quer dizer é que, se dentro do espaço de Minkowski efectuarmos uma mudança de referencial, as componentes do vector devem mudar de tal forma a que o vector que representam permaneça o mesmo. É apenas uma extensão da noção de vector em \mathbb{R}^3 para um espaço em que se aplica a relatividade restrita.

Vejamos então como se aplica este conceito na prática. Uma das noções essenciais em relatividade é a noção de evento. Um evento é um ponto no espaço de Minkowski, e pode ser descrito como um tetravector \mathbf{X} = (ct, x, y, z) = (X^0, X^1, X^2, X^3). [O factor c em X^0 serve apenas como um factor de escala e de dimensão (em unidades naturais toma-se c=1, eliminando o factor).]

A segunda identidade introduz a forma mais geral de indicar as componentes de um tetravector: X^\mu, com \mu = 0,1,2,3. Atenção: estes índices superiores não são potências! A razão para os colocarmos em cima e não em baixo prende-se com o modo como o vector se transforma. Dizemos que é um vector contravariante, ao invés de covariante. Mas para os problemas ao nível olímpico, não precisam de se preocupar com esta distinção, até porque leva a noções muito mais avançadas de cálculo tensorial...

Voltando à Física, temos agora um exemplo de tetravector. Quando dizemos que um tetravector é invariante, isto implica também que a sua norma o seja. A norma no espaço de Minkowski é definida de forma diferente da norma no espaço euclideano:

||\mathbf{X}||^2 = -(X^0)^2 + (X^1)^2 + (X^2)^2 + (X^3)^2

(Alguns autores definem a norma com o sinal inverso. Ambas as definições são aceitáveis, desde que se seja consistente!)
Se substituirem aqui X^\mu por X`^\mu, utilizando as transformações de Lorentz, verão que de facto esta norma é invariante. Reparem ainda que, ao contrário do que acontece num espaço euclideano, a norma não é positiva definida. (Quem sabe explicar as implicações disto? :roll:)

Mas um evento não é de grande utilidade para nós. Estamos mais interessados, por exemplo, na tetravelocidade:

\displaystyle \mathbf{V} = {d\mathbf{X} \over d\tau} = (\gamma c, \gamma \mathbf{v}) = (\gamma c, \gamma v^1, \gamma v^2, \gamma v^3)

\mathbf{v} é a velocidade no espaço, tal como estamos habituados. Repare-se que a derivada foi feita em ordem ao tempo próprio, \tau. A razão para isto é que \tau, ao contrário de t, é um invariante, o que nos garante que esta derivada é de novo um tetravector. A derivada obtém-se sabendo que dt/d\tau = \gamma, como se pode tirar das transformações de Lorentz.*

Tendo a velocidade, podemos definir uma quantidade de grande interesse em relatividade, o tetramomento:

\mathbf{P} = m\mathbf{V} = (\gamma mc, \gamma m\mathbf{v}) = (E/c, \mathbf{p})

em que m é a massa invariante da partícula. Qual é a norma deste tetravector? Vejamos:

||\mathbf{P}||^2 = -(E/c)^2 + \mathbf{p}^2

Se esta quantidade é invariante, o seu valor é sempre igual ao valor medido pela partícula no seu referencial:

-(E/c)^2 + p^2 = -(mc^2/c)^2 = -m^2c^2 \Leftrightarrow E^2 = m^2c^4 + p^2c^2

...e obtemos uma das identidades mais úteis em relatividade restrita. Em geral, a invariância da norma de um tetravector é de grande utilidade na resolução de problemas; todos sabemos como os invariantes nos facilitam a vida. :wink:

Finalmente, como bónus para quem tem algumas noções de Álgebra, vejamos como se transformam tetravectores entre referenciais em configuração standard (velocidade relativa em xx):

\mathbf{U`} = L\mathbf{U} = \left( \begin{array}{cccc}
\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\
-\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array} \right) \mathbf{U}

Aqui, \gamma é o habitual factor de Lorentz e \beta = v/c. A partir daqui tiram-se, por exemplo, as leis para a transformação de velocidades. É um bom exercício para se habituarem :wink: (Aliás, é o que eu faço sempre. Nunca me lembro da adição de velocidades, mas a matriz é fácil de decorar...)

Espero não ter sido demasiado sintético na exposição. Se tiverem alguma dúvida, postem à vontade :)


* Esta é a resposta à pergunta que originou este post. A verdadeira velocidade no tempo! :P
última vez editado por hexphreak s Terça Jul 28, 2009 10:40 pm, editado 1 vez no total
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Re: Tetravectores

Mensagempor hexphreak em Terça Jul 28, 2009 10:58 pm

Aqui fica um problema da semana de preparação olímpica, previously undisclosed, para treinarem os vossos invariantes :wink:

Supondo que a partícula Higgs tem uma massa de 200\,\mathrm{GeV/c^2} qual deverá ser a energia mínima de cada partícula inicial para ser formada nas seguintes condições:

  • Numa colisão pp (protão-protão) supondo que as partículas têm velocidades iguais e opostas.
  • Numa colisão pp, supondo um feixe contra um alvo fixo.
  • Numa colisão ^{197}\mathrm{Au}-^{197}\mathrm{Au}.

(das fichas da Prof. Constança Providência)
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Re: Tetravectores

Mensagempor jap em Terça Jul 28, 2009 11:26 pm

Obrigado, Henrique! :friends:
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Re: Tetravectores

Mensagempor blackroger em Terça Dez 22, 2009 9:23 pm

vou postar vídeos sobre tetravectores e tensores em relatividade restrita dentro de pouco tempo :)

http://www.youtube.com/user/matmania1
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