O inefável número de ouro...

Pequenos problemas e/ou curiosidade de Matemática com algo que ver com a Física

O inefável número de ouro...

Mensagempor jap em Sábado Nov 25, 2006 7:49 pm

Aqui vai a primeira questão, muito simples, motivada pelo problema do contrabandista. :wink:

Provar que o número de ouro, \phi é

\phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}
última vez editado por jap s Sábado Nov 25, 2006 8:06 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor Real em Sábado Nov 25, 2006 8:01 pm

É uma prova extremamente má, mas aqui vai:

O problema é equivalente a calcular \sqrt{1+x}, em que se compactaram todos os outros termos em x.
Se virmos bem, no caso da série infinita, temos x=\sqrt{1+x}.
Resolvendo, obtém-se x=\frac{1+\sqrt 5}{2}=\phi
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Mensagempor jap em Sábado Nov 25, 2006 8:05 pm

Não conheço melhor prova... :wink:
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Mensagempor vbmaster em Sábado Nov 25, 2006 8:11 pm

Prova à portuguesa (desenrasque way! :D ):

Código: Seleccionar Todos
(define (numerodouro)
  (numerodouro-rec 1000))
(define (numerodouro-rec x)
  (if (= x 0)
      (sqrt 1)
      (sqrt (+ 1 (numerodouro-rec (- x 1))))))


/me não aconselha ninguém a armar-se em rambo com algoritmos recursivos, que num instante ficamos sem memória no pc... ah ah :P
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Mensagempor jap em Sábado Nov 25, 2006 8:15 pm

vbmaster Escreveu:Prova à portuguesa (desenrasque way! :D ):

Código: Seleccionar Todos
(define (numerodouro)
  (numerodouro-rec 1000))
(define (numerodouro-rec x)
  (if (= x 0)
      (sqrt 1)
      (sqrt (+ 1 (numerodouro-rec (- x 1))))))


/me não aconselha ninguém a armar-se em rambo com algoritmos recursivos, que num instante ficamos sem memória no pc... ah ah :P


Ah "scheme" :wink: , gosto de programação funcional... e algoritmos recursivos desde que não estourem o stack! Com tail recursion, o PC deverá aguentar...
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Mensagempor vbmaster em Sábado Nov 25, 2006 8:17 pm

jap Escreveu:
vbmaster Escreveu:Prova à portuguesa (desenrasque way! :D ):

Código: Seleccionar Todos
(define (numerodouro)
  (numerodouro-rec 1000))
(define (numerodouro-rec x)
  (if (= x 0)
      (sqrt 1)
      (sqrt (+ 1 (numerodouro-rec (- x 1))))))


/me não aconselha ninguém a armar-se em rambo com algoritmos recursivos, que num instante ficamos sem memória no pc... ah ah :P


Ah "scheme" :wink: , gosto de programação funcional... e algoritmos recursivos desde que não estourem o stack!


Ah e tal... a piada lá de cima foi mesmo para mim próprio que sei perfeitamente o que é que as coisas vão dar e nunca resisto em correr a função com valores megalómanos para ocupar a memória toda do pc... :P

Sim, tail recursive além de muitas das vezes se tornar mais rapido faz todas as funções ocorrerem no mesmo stack... deixa cá ver se faço um tail recursive... :P
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Mensagempor vbmaster em Sábado Nov 25, 2006 8:20 pm

Versão Anti-sado-maso:

Código: Seleccionar Todos
(define (numerodouro)
  (numerodouro-int 1000 0))
(define (numerodouro-int x soma)
  (if (= x 0)
      soma
      (numerodouro-int (- x 1) (sqrt (+ soma 1)))))
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Mensagempor Ivo_Timóteo em Domingo Nov 26, 2006 9:46 pm

Já agora acrescento que o número de ouro também pode ser escrito da seguinte forma:
\phi=[1,1,1,1,1,1,...]

Ou para os menos familiarizados com fracções contínuas,

\phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}}}}}


Ahaha, o meu primeiro post com TeX!!!
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Mensagempor jmgb em Segunda Nov 27, 2006 1:26 am

Sim, mas parece-me que a melhor forma é mesmo ver o limite da sucessão recursiva... :)

Começo a aperceber-me que o fórum tem actividade a toda a hora, sendo que eu escrevo mais à noite, o Diogo mais de dia, e o Prof. Paixão a toda a hora! :lol: Devia colocar-se uma funcionalidade no fórum a dizer há quanto tempo foi postada a mensagem mais recente... E a cada semana via-se o máximo tempo.. ia ser pequeno, acreditem! :)


Prova à portuguesa (desenrasque way!)
O Prof. Paixão vai ter algo a dizer-vos em relação a esta característica portuguesa e o bom desempenho em provas experimentais! :) Deixo para ele a (grande) revelação...
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Mensagempor jap em Segunda Nov 27, 2006 1:15 pm

jmgb Escreveu:O Prof. Paixão vai ter algo a dizer-vos em relação a esta característica portuguesa e o bom desempenho em provas experimentais! :) Deixo para ele a (grande) revelação...


Eh, eh, João essa fica para a primeira sessão em Coimbra, :wink: Mas concordas comigo, não?
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Mensagempor jmgb em Segunda Nov 27, 2006 4:02 pm

Eh, eh, João essa fica para a primeira sessão em Coimbra, Wink Mas concordas comigo, não?


Óbvio! :)
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