Área de superfície de uma esfera

Pequenos problemas e/ou curiosidade de Matemática com algo que ver com a Física

Mensagempor manuelmarque em Sábado Dez 15, 2007 8:49 pm

hexphreak Escreveu:
manuelmarque Escreveu:Fiz simplesmente

\pi R^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2 \theta \ d\theta}

Eu simplesmente pus o raio de cada uma das secções individuais em função do ângulo, e integrei de -\frac{\pi}{2} a \frac{\pi}{2}.

Interessante :) Não estou habituado ainda a pensar na solução fácil, vou pela óbvia :lol:

manuelmarque Escreveu:(acho que já vou falar com a malta lá na FCUP na segunda, para darem uma olhada neste tópico Wink)

Será que a minha candidatura à FEUP fica comprometida se ajudar a FCUP? :twisted:


Hehe... engraçado, porque até costumo ser eu quem complica tudo. ;)

Os integrais de superfície dão bastante jeito no Electromagnetismo, para calcular cargas superficiais, entre outras coisas "engraçadas". E vou ver se nestas férias começo a "brincar" com isso, para resolver numericamente uns problemas interessantes que envolvam equações diferenciais. ;) (vou ter muito tempo, visto que só recomeço em Fevereiro! (irritando as gentes de Secundário... :twisted: ))
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Mensagempor hexphreak em Sábado Dez 15, 2007 8:52 pm

manuelmarque Escreveu:Os integrais de superfície dão bastante jeito no Electromagnetismo, para calcular cargas superficiais, entre outras coisas "engraçadas".

É verdade, são muito úteis como análogo bidimensional dos integrais de linha.

manuelmarque Escreveu:(irritando as gentes de Secundário... :twisted: ))

Remember you too were once a young Padawan... :P
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Mensagempor AlexandreH em Domingo Dez 16, 2007 1:00 am

manuelmarque Escreveu: [Esperem aí para ver se eu percebi bem. O que se pretende calcular é a soma das áreas individuais de cada uma das "fatias" da esfera, ou será a soma dos perímetros de cada "fatia"? (um integral de superfície, I guess...).

É que se for o último caso, dá-me 4\pi R (R sendo o raio). Não sei onde foi parar o factor quadrático, se tiver tempo mais logo posto a minha resolução (vou tentar pôr o scanner em marcha... :P).


Eu entendi pra calcular a área de uma superfície esférica de raio R

e coloquei a soluçao pra este caso. n~so sei usar a simbologia matemática apropriada no forum, mas se quiser scaneio a resoluçao de um livro aaqui.
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Mensagempor manuelmarque em Domingo Dez 16, 2007 10:15 am

AlexandreH Escreveu:
manuelmarque Escreveu: [Esperem aí para ver se eu percebi bem. O que se pretende calcular é a soma das áreas individuais de cada uma das "fatias" da esfera, ou será a soma dos perímetros de cada "fatia"? (um integral de superfície, I guess...).

É que se for o último caso, dá-me 4\pi R (R sendo o raio). Não sei onde foi parar o factor quadrático, se tiver tempo mais logo posto a minha resolução (vou tentar pôr o scanner em marcha... :P).


Eu entendi pra calcular a área de uma superfície esférica de raio R

e coloquei a soluçao pra este caso. n~so sei usar a simbologia matemática apropriada no forum, mas se quiser scaneio a resoluçao de um livro aaqui.


Que livro consultaste, já agora? (tenho que dar uma olhada no Spivak...)
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Mensagempor manuelmarque em Domingo Dez 16, 2007 11:57 am

Bem, estive a testar os meus (simples) cálculos no Maple e descobri que a "culpa" do resultado não é das minhas contas! :lol:

De facto, devo estar aqui a partir de algum pressuposto errado... já andei a consultar alguma bibliografia, (o Spivak não tem nadinha, e o Ostrowski não me parece que tenha o caso da esfera...) mas para já nicles.

Vou meter, já agora, a minha resolução ;-) (espero que se perceba a representação da esfera!)

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Mensagempor hexphreak em Domingo Dez 16, 2007 12:57 pm

Está muito bem, embora tenhas dois eixos zz :wink: Também não sei onde foi parar o R extra...
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Mensagempor manuelmarque em Domingo Dez 16, 2007 1:41 pm

hexphreak Escreveu:Está muito bem, embora tenhas dois eixos zz :wink: Também não sei onde foi parar o R extra...


Oops... :oops: sinceramente, nem sei como é que deixei passar aquilo :P.
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Mensagempor hexphreak em Domingo Dez 16, 2007 2:21 pm

Manuel, se precisares de informações sobre integrais de superfície, o Spivak não tem nada, mas o Apostol (Vol. 2) tem um excelente capítulo (Cap. 12) sobre esse tema :) Não li o livro todo, só esse capítulo e percebi, por isso é mesmo bom :wink:
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Mensagempor manuelmarque em Domingo Dez 16, 2007 6:19 pm

hexphreak Escreveu:Manuel, se precisares de informações sobre integrais de superfície, o Spivak não tem nada, mas o Apostol (Vol. 2) tem um excelente capítulo (Cap. 12) sobre esse tema :) Não li o livro todo, só esse capítulo e percebi, por isso é mesmo bom :wink:


Porreiro! Amanhã, ver se encontro o Apostol lá na biblioteca... :)
Obrigado pela dica!
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Mensagempor AlexandreH em Domingo Dez 16, 2007 10:03 pm

manuelmarque Escreveu:Que livro consultaste, já agora? (tenho que dar uma olhada no Spivak...)



Eu uso o livro: Cálculo com Geometria Analítica vol 1
autor: SIMMONS

voces conhecem por ai? é chamado so de SIMMONS. XDD
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Re: Área de superfície de uma esfera

Mensagempor tucashifi em Segunda Mar 17, 2008 11:21 pm

hexphreak Escreveu:Estava aqui a afinar as minhas noções de Cálculo enquanto lia as Lectures, e lembrei-me que alguém tinha dito que calcular volumes era uma boa maneira. Realmente é, mas como não podia deixar de ser, a seguir a calcular o volume de uma esfera, fiquei um bocado preocupado por estar a usar a fórmula para a área de superfície sem saber de onde vinha :roll:

A minha solução: vamos arranjar um integral para calcular a área de superfície! Então pensei que podia fazer A &=& \int_{-R}^{R}P(h)dh, em que P(h) é o perímetro da secção da esfera produzida por um plano z &=& h - por outras palavras, somar todos aqueles perímetros de cima a baixo. O problema veio depois: a expressão para o raio é \sqrt{2Rh-h^2}, e o integral disso é absolutamente monstruoso, e não dá o resultado certo nem por sombras :shock:

A minha pergunta, então, é: o que estou a fazer mal? Será a expressão para o raio? Mas se olharmos para o que essa devia ser (para dar 4\pi R^2), temos R! :? Estou mesmo muito confuso...


P.S.: Motivação física? A primeira bomba atómica, dos EUA, era esférica, contrariamente aos planos para folhas de urânio do Heisenberg (para facilitar os cálculos) :lol:


Achei interessante este assunto do cálculo da área de superfície, que parece ser mais fácil do que realmente é.
Através de um raciocinio simples somos levados a pensar que soma dos infinitos perímetros que formam a esféra ao longo do eixo dos zz poderá dar a área de superfície desta.

Acontece que um perímetro é uma unidade de comprimento e não uma unidade de área e é por isso que no fim dos calculos o raio não aparece ao quadrado.

Neste caso talvez o processo mais simples para calcular a área de superfície da esféra será primeiro calcular a área de uma porção da esféra situada no 1º octante (dentro da semiesféra do eixo positivo dos zz), contendo a porção de angulo completa correspondente ao eixo dos zz.

Depois generalizamos para o 1º octante completo e de seguida multiplicamos o resultado por 8 (porque a esféra possui 8 octantes).

No fim o resultado será exactamente As=4Pi r^2 :wink:
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Mensagempor hexphreak em Segunda Mar 17, 2008 11:28 pm

Esqueci-me de postar aqui quando consegui, há mais ou menos um mês (não andei sempre a tentar! :lol:)... Já perdi a folha outra vez, mas essencialmente tanto eu como o Manuel nos tínhamos esquecido de uma dimensão, daí só obtermos 4\pi R :) O integral correcto é então:

A = 2\int_0^\pi 2\pi R^2 \sin \theta d\theta = 4\pi R^2
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Mensagempor tucashifi em Terça Mar 18, 2008 12:09 am

hexphreak Escreveu:Esqueci-me de postar aqui quando consegui, há mais ou menos um mês (não andei sempre a tentar! :lol:)... Já perdi a folha outra vez, mas essencialmente tanto eu como o Manuel nos tínhamos esquecido de uma dimensão, daí só obtermos 4\pi R :) O integral correcto é então:

A = 2\int_0^\pi 2\pi R^2 \sin \theta d\theta = 4\pi R^2


OK, hexphreak.
Eu cheguei ao resultado com outro integral mas vai dar no mesmo.
Fica bem, 8) .
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