Área de superfície de uma esfera

Pequenos problemas e/ou curiosidade de Matemática com algo que ver com a Física

Área de superfície de uma esfera

Mensagempor hexphreak em Quinta Dez 13, 2007 9:02 pm

Estava aqui a afinar as minhas noções de Cálculo enquanto lia as Lectures, e lembrei-me que alguém tinha dito que calcular volumes era uma boa maneira. Realmente é, mas como não podia deixar de ser, a seguir a calcular o volume de uma esfera, fiquei um bocado preocupado por estar a usar a fórmula para a área de superfície sem saber de onde vinha :roll:

A minha solução: vamos arranjar um integral para calcular a área de superfície! Então pensei que podia fazer A &=& \int_{-R}^{R}P(h)dh, em que P(h) é o perímetro da secção da esfera produzida por um plano z &=& h - por outras palavras, somar todos aqueles perímetros de cima a baixo. O problema veio depois: a expressão para o raio é \sqrt{2Rh-h^2}, e o integral disso é absolutamente monstruoso, e não dá o resultado certo nem por sombras :shock:

A minha pergunta, então, é: o que estou a fazer mal? Será a expressão para o raio? Mas se olharmos para o que essa devia ser (para dar 4\pi R^2), temos R! :? Estou mesmo muito confuso...


P.S.: Motivação física? A primeira bomba atómica, dos EUA, era esférica, contrariamente aos planos para folhas de urânio do Heisenberg (para facilitar os cálculos) :lol:
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Mensagempor sagardipak em Quinta Dez 13, 2007 10:04 pm

Curioso... eu pegava só em metade da esfera... São pontos de vista :lol:
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Re: Área de superfície de uma esfera

Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Dez 13, 2007 10:24 pm

O raio da circunferência gerada pela secção da esfera segundo o plano z = h deve ser \sqrt{R^2 - h^2}, a menos que me tenha enganado nas contas (olha para a esfera "de lado", ou seja, olha para uma sua projecção num plano ortogonal ao plano xoy, e depois usa o teorema de Pitágoras)

Nota: ainda te falta mostrar que a expressão para o perímetro de uma circunferência é 2\pi r :P
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Mensagempor hexphreak em Quinta Dez 13, 2007 10:34 pm

Bem pois, claro, eu estava a dizer a expressão considerando h = 0 na base da esfera, mas depois disse mal os limites do integral :) Vou só calcular o integral nessa forma, e já digo alguma coisa.


P.S.: Esse é o meu próximo passo 8)
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Mensagempor hexphreak em Quinta Dez 13, 2007 11:18 pm

Tenho aqui:

A &=& \int_{-R}^R P(h) dh &=& 2\pi \int_{-R}^R r(h) dh &=& \left.\pi (h\sqrt{R^2-h^2} + R^2\arcsin{\frac{h}{R}})\right|_{-R}^R

O que dá... \pi^2R^2 :shock:
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Re: Área de superfície de uma esfera

Mensagempor RicardoCampos em Quinta Dez 13, 2007 11:21 pm

Zé Teixeira Escreveu:Nota: ainda te falta mostrar que a expressão para o perímetro de uma circunferência é 2\pi r :P


Define-se pi assim :!:

No maximo so se fosse mesmo mostrar a area do circulo :P
\emph{Ricardo Campos}\in \delta \bigcap q\overline{q}
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Re: Área de superfície de uma esfera

Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Dez 13, 2007 11:26 pm

RicardoCampos Escreveu:
Zé Teixeira Escreveu:Nota: ainda te falta mostrar que a expressão para o perímetro de uma circunferência é 2\pi r :P


Define-se pi assim :!:

No maximo so se fosse mesmo mostrar a area do circulo :P


Prefiro usar outra definição para \pi: é o menor real positivo cujo co-seno (sim, escreve-se com hífen, segundo o dicionário :P) vale -1.
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Mensagempor AlexandreH em Sexta Dez 14, 2007 6:59 am

QUER caucular o volume?? por esse metodo?
Mas porque tu não pega a diferencial do volume da esfera: dv= pi x^2 dy
e entegra de 0 ate R? isso tendo tacado pitágoras x^2 + y^2 = R^2

Eu não me lembro qual era minha dificuldade, mas toda vez que ia calcular o momento de inercia da esfera, dava um problema, uma desgraça que ja fiz foi esquecer, relacionado com a simetria nem me lembro, sei que não acho o limite de integração correto. maldita dúvida, esqueci-a!
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Mensagempor AlexandreH em Sexta Dez 14, 2007 7:22 am

ahh a área...

utiliza a simetria esquerda-direita e tacando na expressão da integral:

A= integral(2pi y ds) chamando o raio de "a".

y=sqrt(a^2 - x^2) isso girando ao redor do eixo x.

derivando e substituindo, É FÁCIL VER QUE... A=4pi a^2

* Não é nada fácil ver :) , estou imitando os livros russos, que são muito espertos , quando vejo uma resolução deles rapidamente falam " É facil ver", " É estupidamente trivial ver", "fazendo as contas no olho".... sahushuasuhahusuhsuhshuasuhasuhahusahushushuas
EXAGEREIIIIIII!!!!! mas é quase isso, alem disso conheço amigo que faz isso em algumas das soluções dele , para economizar papel, mesmo a questão sendo absurda de grande. "É intuitivo ver ... (a solução)". XDD :lol:
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Mensagempor AlexandreH em Sexta Dez 14, 2007 7:34 am

*ds é o elemento de arco (comprimento)

Esquecii de dizer.
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Mensagempor Zé Teixeira em Sexta Dez 14, 2007 7:51 pm

O objectivo é calcular a área, não o volume.
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Mensagempor AlexandreH em Sábado Dez 15, 2007 1:40 am

Zé Teixeira Escreveu:O objectivo é calcular a área, não o volume.


Pois bem man, olha em cima!! ja escrevi a integral para achar a área e as expressões necessárias. XDD
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Mensagempor manuelmarque em Sábado Dez 15, 2007 6:03 pm

hexphreak Escreveu:Tenho aqui:

A &=& \int_{-R}^R P(h) dh &=& 2\pi \int_{-R}^R r(h) dh &=& \left.\pi (h\sqrt{R^2-h^2} + R^2\arcsin{\frac{h}{R}})\right|_{-R}^R

O que dá... \pi^2R^2 :shock:


Realmente também me deu isso... mas segui um processo diferente do teu, I guess.

Fiz simplesmente

\pi R^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2 \theta \ d\theta}

Eu simplesmente pus o raio de cada uma das secções individuais em função do ângulo, e integrei de -\frac{\pi}{2} a \frac{\pi}{2}.

Vou tentar agora com a expressão do Alexandre...
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Mensagempor manuelmarque em Sábado Dez 15, 2007 6:11 pm

AlexandreH Escreveu:ahh a área...

utiliza a simetria esquerda-direita e tacando na expressão da integral:

A= integral(2pi y ds) chamando o raio de "a".

y=sqrt(a^2 - x^2) isso girando ao redor do eixo x.

derivando e substituindo, É FÁCIL VER QUE... A=4pi a^2

* Não é nada fácil ver :) , estou imitando os livros russos, que são muito espertos , quando vejo uma resolução deles rapidamente falam " É facil ver", " É estupidamente trivial ver", "fazendo as contas no olho".... sahushuasuhahusuhsuhshuasuhasuhahusahushushuas
EXAGEREIIIIIII!!!!! mas é quase isso, alem disso conheço amigo que faz isso em algumas das soluções dele , para economizar papel, mesmo a questão sendo absurda de grande. "É intuitivo ver ... (a solução)". XDD :lol:


Esperem aí para ver se eu percebi bem. O que se pretende calcular é a soma das áreas individuais de cada uma das "fatias" da esfera, ou será a soma dos perímetros de cada "fatia"? (um integral de superfície, I guess...).

É que se for o último caso, dá-me 4\pi R (R sendo o raio). Não sei onde foi parar o factor quadrático, se tiver tempo mais logo posto a minha resolução (vou tentar pôr o scanner em marcha... :P).

Este tipo de problemas vão dar jeito para o meu (futuro) trabalho computacional de electromagnetismo, já no próximo semestre! (acho que já vou falar com a malta lá na FCUP na segunda, para darem uma olhada neste tópico ;))
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Mensagempor hexphreak em Sábado Dez 15, 2007 8:32 pm

manuelmarque Escreveu:Fiz simplesmente

\pi R^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2 \theta \ d\theta}

Eu simplesmente pus o raio de cada uma das secções individuais em função do ângulo, e integrei de -\frac{\pi}{2} a \frac{\pi}{2}.

Interessante :) Não estou habituado ainda a pensar na solução fácil, vou pela óbvia :lol:

manuelmarque Escreveu:(acho que já vou falar com a malta lá na FCUP na segunda, para darem uma olhada neste tópico Wink)

Será que a minha candidatura à FEUP fica comprometida se ajudar a FCUP? :twisted:
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