Produto escalar

Pequenos problemas e/ou curiosidade de Matemática com algo que ver com a Física

Re: Produto escalar

Mensagempor sagardipak em Domingo Nov 30, 2008 6:57 pm

Sim, o produto escalar não é um vector. Daí se chamar escalar, é apenas um número. Existe outro tipo de produto entre vectores e esse, sim, resulta num vector. É chamado de produto vectorial, e o vector resultante tem a magnitude \vec a \cdot \vec b \sin \theta. A direcção é perpendicular aos dois vectores e o seu sentido é definida pela regra da mão direita.

A minha dúvida não era sobre como definir o produto, mas porquê o definir dessa maneira. Porque razão se usaria o co-seno em vez do seno para o produto escalar? Não poderá existir um produto vectorial que não use o seno? A minha dúvida era porquê definir a operação dessa maneira, que parece tão aleatória. Hoje em dia, convenço-me que é pela sua utilidade em problemas muito comuns em física, como o cálculo do trabalho de uma força (e, realmente, é útil :P )
última vez editado por sagardipak s Domingo Nov 30, 2008 8:09 pm, editado 1 vez no total
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Re: Produto escalar

Mensagempor RicardoCampos em Domingo Nov 30, 2008 7:18 pm

Matrizes e produtos escalares combinam bem.
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Re: Produto escalar

Mensagempor jap em Segunda Dez 01, 2008 6:29 pm

sagardipak Escreveu:(...)
A minha dúvida não era sobre como definir o produto, mas porquê o definir dessa maneira. Porque razão se usaria o co-seno em vez do seno para o produto escalar?
(...)


O produto escalar surge naturalmente no contexto da projecção de um vector numa dada direcção. Seja \vec v esse vector e \hat u, um versor do eixo orientado que representa a direcção segundo a qual pretendes projectar o vector.

Então, a projecção do vector \vec v na direcção definida por \hat u é

|v| \cos \alpha,

onde \alpha é o ângulo entre \vec v e \hat u.

Ora esta projecção é simplesmente

\vec v \cdot \hat u = \frac{ \vec v \cdot \vec u}{|\vec u|}.

Portanto, o produto escalar surge como uma "necessidade" em cálculo vectorial e geometria analítica e nasceu, naturalmente, neste contexto. E, sendo assim, a definição só poderia ter "nascido" com \cos \alpha e não outra função trigonométrica! :lol:

A noção de produto escalar generalizou-se mais tarde, aliás como a noção de vector. Por exemplo, uma função pode ser considerada um vector num espaço vectorial de funções - em Mecânica Quântica a função de onda que descreve uma partícula é um vector do espaço das funções de onda (o chamado espaço de Hilbert). Neste caso também se define um produto escalar que já não tem propriamente a ver com a definição geométrica acima, mas ainda retêm a íntima associação com a noção de "projecção de um vector" (neste caso a função de onda)...

Enfim, só para esclarecer que a noção matemática de produto escalar nasceu num certo contexto bem definido e depois generalizou-se ao ponto de ser possível de encontrar este conceito em contextos que se afastam muito do original. Isto acontece com muitos conceitos de matemática. Infelizmente, hoje é pratica comum ensinarem-se os conceitos de forma tão abstracta e geral que dá ideia que alguém um dia acordou e resolveu definir isto e aquilo porque sim - nada mais longe da verdade!

No produto escalar, como no vectorial, e em tudo o resto, há sempre uma boa razão porque alguém se lembrou um dia de definir um dado conceito. Infelizmente é muito comum os matemáticos perderem a noção original que deu origem ao conceito, partindo de uma definição sem justificação histórica. Nesse caso, os Físicos têm, tipicamente, melhor memória! :lol:
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Re: Produto escalar

Mensagempor blackroger em Terça Out 13, 2009 8:53 pm

O produto escalar vem apenas de juntar dois vectores e aplicar-lhe a lei dos co-senos. Vamos ver como.

Não vou aqui demonstrar, mas recorrendo a um pouco de trigonometria e ao velhinho teorema de pitágoras, sabemos que a lei dos co-senos é:

C^2=A^2+B^2-2AB \cos \alpha

Agora, como criamos um vector a partir de outros dois?

Somando ou Subtraindo. Mas para criarmos um \vec{C} para aplicar o teorema de pitagoras facilmente e com a medida pretendida, dizemos que o \vec{C}=\vec{B}-\vec{A}

Então \vec{C}^2=(\vec{B}-\vec{A})^2

Vamos então igualar as duas expressões.

\vec{C}^2=(\vec{B}-\vec{A})^2 =
 = |\vec{B}|^2-2\vec{A}\vec{B}+|\vec{A}|^2

|\vec{B}|^2-2\vec{A}\vec{B}+|\vec{A}|^2=A^2+B^2-2AB\cos \alpha

cortando o A, o B e o -2, ficamos com o produto escalar de um vector (que é o produto de cada uma das suas coordenadas)

\vec{A}\vec{B}=|A||B|\cos \alpha

Espero ter ajudado. Se não for claro porque é que o produto dos vectores é pelas suas coordenadas, relembro que estamos a ver o módulo de C, que usando o teorema de pitágoras, é o módulo na 1º coordenada mais o módulo na segunda coordenada e, fazendo os passos acima, leva-nos ao produto de cada uma das coordenadas.

Espero ter ajudado! :D
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Re: Produto escalar

Mensagempor Tharis em Terça Out 13, 2009 9:37 pm

@blackroger, não sei muito bem a tua experiência em fóruns, mas existe uma coisa que é chamada "ressuscitar tópicos" e isto só deve ser feito quando o "ressuscitador" tiver uma dúvida sobre esse assunto ou se quiser actualizar alguma coisa (uma notícia por exemplo).

Se reparares nas datas, existe quase o desfasamento de um ano. E eu (entre outros) acredito que o Sagar saiba agora o produto escalar.

Cumprimentos ;)

P.S.: Claro que fica muito bem para o futuro, mas mesmo assim...
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Re: Produto escalar

Mensagempor blackroger em Terça Out 13, 2009 9:49 pm

Tharis Escreveu:@blackroger, não sei muito bem a tua experiência em fóruns, mas existe uma coisa que é chamada "ressuscitar tópicos" e isto só deve ser feito quando o "ressuscitador" tiver uma dúvida sobre esse assunto ou se quiser actualizar alguma coisa (uma notícia por exemplo).

Se reparares nas datas, existe quase o desfasamento de um ano. E eu (entre outros) acredito que o Sagar saiba agora o produto escalar.

Cumprimentos ;)

P.S.: Claro que fica muito bem para o futuro, mas mesmo assim...


É bem verdade, por acaso... Mas esta demonstração não estava em mais lado nenhum e a dúvida, ao meu ver, deve persistir em muita gente, é pertinente.
Em vez de abrir um tópico novo, temos um tópico já concreto sem resposta para isto, porque não "ressuscitar" este e ficar um registo para o futuro?

:D
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Re: Produto escalar

Mensagempor sagardipak em Quinta Out 22, 2009 5:47 pm

Obrigado pela resposta desfasada :P Gostava só de esclarecer que o produto escalar não vem da lei dos senos e de adicionar vectores mas, em vez disso, pode ser calculado com essas ferramentas após ser definido arbitrariamente (foi o que fizeste). As proposições implícitas que usaste para o definir foram:

1. É uma função definida de V^2 para \mathbb{R}, em que V é um espaço vectorial, da seguinte maneira (isto é quase necessário se lhe quisermos dar o nome "produto escalar" :P ):

f : V^2 \longrightarrow \mathbb{R}
(\vec{a},\vec{b})\longmapsto \vec{a} \cdot \vec{b}

2. Goza da propriedade distributiva:

blackroger Escreveu:\vec{C}^2=(\vec{B}-\vec{A})^2 = |\vec{B}|^2-2\vec{A}\vec{B}+|\vec{A}|^2


3. Goza da seguinte igualdade (usaste esta última implicitamente depois da propriedade distributiva e quando disseste "Vamos então igualar as duas expressões."):

\vec{C}\cdot\vec{C}=|C|^2

A partir destas três proposições é possível deduzir a fórmula do produto escalar, como fizeste (o contrário também é possível), mas é impossível deduzi-lo naturalmente, pois é uma definição arbitrária...
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Re: Produto escalar

Mensagempor jap em Sábado Out 24, 2009 10:51 pm

sagardipak Escreveu:Obrigado pela resposta desfasada :P Gostava só de esclarecer que o produto escalar não vem da lei dos senos e de adicionar vectores mas, em vez disso, pode ser calculado com essas ferramentas após ser definido arbitrariamente (foi o que fizeste).
(...)


O produto escalar vem mesmo de adicionar vectores, teorema de pitágoras, e tudo isso, o que acontece é que se generalizou (mais tarde) este conceito, abstraindo-o da sua "origem". É claro que, hoje em dia, é perfeitamente possível definir produto escalar num espaço vectorial abstracto sem referência "àqueles vectores com setinhas", ou seja, os vectores são entidades abstractas e podem ser concretizadas de muitas formas. Por exemplo, as funções "bem comportadas" podem ser consideradas vectores num espaço vectorial, de dimensão infinita e aí define-se um produto escalar de uma forma que parece bem distante do teorema de pitágoras e da lei dos senos, obedecendo àquelas propriedades que o Sagar referiu, por exemplo

f(x) \cdot g(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)g(x)dx

Este espaço vectorial é muito útil em Física! E podia dar muitos outros exemplos. No entanto, este como muitos outros conceitos de Matemática que os matemáticos gostam de apresentar de uma forma muito abstracta e geral, têm raízes bem concretas. Acho divertido quando alguns colegas matemáticos falam de alguns ramos da matemática (por exemplo, teoria de grupos) que foram de tal modo abstaídos da sua motivação e aplicação original, que já nem conseguem relacionar o conceito abstracto com a sua aplicação prática - ou seja o problema (físico ou de matemática) para o qual aquelas ferramentas (depois teorias) foram criadas! :lol:
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Re: Produto escalar

Mensagempor RicardoCampos em Domingo Out 25, 2009 7:09 pm

Há tantas coisas que são generalizadas com base nos exemplos que são conhecidos. Os produtos internos, as normas, as distâncias, os espaços vectoriais, os grupos, os anéis, os corpos... Toda a topologia geral é criada com base no \mathbb{R}^n.

Mas ainda assim, a minha definição favorita de espaço vectorial é a seguinte.

Dizemos que V é um espaço vectorial se qualquer elemento de V tem uma setinha em cima.
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Re: Produto escalar

Mensagempor jap em Domingo Out 25, 2009 9:38 pm

RicardoCampos Escreveu:(...)

Dizemos que V é um espaço vectorial se qualquer elemento de V tem uma setinha em cima.


:lol:
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Re: Produto escalar

Mensagempor Tharis em Domingo Out 25, 2009 9:59 pm

RicardoCampos Escreveu:Dizemos que V é um espaço vectorial se qualquer elemento de V tem uma setinha em cima.


EPIC! :mrgreen: :hands:
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Re: Produto escalar

Mensagempor blackroger em Quinta Nov 05, 2009 10:13 pm

Apoiado Ricardo!

Eu além das definições anteriores, quis também estabelecer o paralelismo entre o produto escalar ter a haver com a projecção, cos mas também com o produto das coordenadas, que não estava bem explicado antes.

Ok, quando falamos de espaço vectorial, foi-me implícito que é qualquer noção matemática com propriedades lineares (f(a+b)=f.a+f.b e outras ditas acima).

Ou então tem uma seta em cima :D

PS:Não podemos esquecer a notação de dirac em mecânica quântica em que vectores também são escritos com "bras" e "kets", uma dentro de uma seta gigante para a esquerda ou direita, querendo fundamentalmente dizer que é o complexo conjugado num espaço vectorial em C :XD

Espero não ter baralhado mais! :wall:
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