Produto escalar

Pequenos problemas e/ou curiosidade de Matemática com algo que ver com a Física

Produto escalar

Mensagempor sagardipak em Quarta Nov 21, 2007 12:23 pm

Ora bom dia!

Eu penso que esta questão é bastante matemática, e muito pouco física. Mas visto que isto vê a sua aplicação na física ( :D ) vou fazer a pergunta na mesma.

Nas aulas de matemática aprendemos como calcular o produto escalar de dois vectores, mas eu ainda não percebi bem de onde vem a fórmula, ou porque é que ela é assim.

a \cdot b = \Vert a \Vert  \Vert b \Vert  cos \alpha

Eu pensava que a natureza desta fórmula era pegar na componente de um vector com a mesma direcção do outro e multiplicar essas normas, mas agora tenho dúvidas...

Para isto não ficar muito matemático, sempre pensei assim por causa da fórmula do trabalho que se aprende no 10º ano, que é claramente uma aplicação deste produto escalar.

E já agora, um bónus para quem quiser responder e estiver inspirado, porque é que o produto vectorial usa o seno e não o co-seno? :D (Ok, esta não é tão necessário responder)

Obrigado!
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Mensagempor hexphreak em Quarta Nov 21, 2007 2:18 pm

Já aprendi o produto escalar há algum tempo (não nas aulas), mas penso que esta é a interpretação geométrica:

Se tiveres dois vectores, podes considerar um deles, A, como o teu eixo, digamos, dos xx. Nesse caso, o seu comprimento corresponde à abcissa. O outro vector, B, é representado completamente pela abcissa e pela ordenada, e x_B &=& |B| \cdot \cos \alpha em que \alpha é o ângulo que B faz com A.

Ora bem, como o produto escalar é a soma do produto das coordenadas respectivas, temos que A \cdot B &=& x_A x_B + y_A y_B &=& |A||B|\cos \alpha (já que a ordenada de A é 0) :D
última vez editado por hexphreak s Quarta Nov 21, 2007 7:28 pm, editado 2 vezes no total
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Mensagempor RicardoCampos em Quarta Nov 21, 2007 5:17 pm

Imagem


Ora, por definição, o producto escalar é b' \times a ... Como podes constatar, trigonometricamente, b' = b \times cos \alpha


Concluis imediatamente que \vec{a} . \vec{b} = a \times b cos \alpha
\emph{Ricardo Campos}\in \delta \bigcap q\overline{q}
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Mensagempor sagardipak em Quarta Nov 21, 2007 7:47 pm

Então é basicamente o que eu pensava... Pegar na projecção de um vector com a direcção do outro e multiplicar. Porque será que se lembraram disto? :roll:
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Mensagempor hexphreak em Quarta Nov 21, 2007 8:06 pm

Talvez porque precisaram de saber o ângulo entre dois vectores e só sabiam as suas coordenadas. Este ângulo dá-nos a direcção entre os dois vectores, que é utilizada tantas vezes em Física, como na expressão W &=& \vec{F} \cdot \vec{d} que referiste :)
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Mensagempor hexphreak em Quarta Nov 21, 2007 8:24 pm

E esta é um bónus que vem do The Road to Reality (não directamente): consegues dar um exemplo de interpretação física do produto escalar? :D Quando digo interpretação não quero dizer algo do género do trabalho, mas qualquer coisa como a interpretação física da derivada. Pode ajudar se te lembrares da velocidade ou da aceleração... :roll:


P.S.: O meu número de posts cabe à justa em 7 bits :lol:
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Mensagempor sagardipak em Quarta Nov 21, 2007 8:44 pm

Sim, a derivada (taxa de variação) da posição é a velocidade, a da velocidade é a aceleração. Inversamente, a primitiva da aceleração é a velocidade e a da velocidade é a posição (em relação ao tempo).

Mas não percebi o que querias perguntar xD Se consigo exprimir o conceito de produto escalar em termos de aplicação física? O trabalho é um exemplo, mas não estou mesmo a ver o que queres dizer...

PS: Posta lá o teu 10000000 :D
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Mensagempor hexphreak em Quarta Nov 21, 2007 9:03 pm

Ou seja, a derivada é uma taxa de variação, e é essa a interpretação física. Qual achas que será a do produto escalar? O trabalho é um exemplo particular que te pode ajudar a chegar lá, e também tem a ver com variações :roll:


P.S.: SHL 1,7 posts! :lol:
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Mensagempor sagardipak em Quarta Nov 21, 2007 9:14 pm

Pff, nunca nesta vida mortal chego lá!
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Mensagempor hexphreak em Quarta Nov 21, 2007 9:21 pm

Aí estão as tuas influências, "nesta vida" :lol:

Se considerarmos o exemplo do trabalho, temos o produto escalar da força pelo deslocamento... Mas a força faz variar a variação do deslocamento! :D O produto escalar é uma espécie de derivada de segunda ordem (não literalmente! :shock:), multi-dimensional - assumindo que temos unidades coerentes, senão a operação não faz sentido.

Depois há muita coisa envolvendo campos vectoriais, 1-forms e outros tópicos abstrusos em que tens de ler cada página 3 vezes para perceber :wink: Mas fazer interpretações deste género - e esperemos que o Prof. Paixão não tenha alguma objecção de monta - ajuda muito, torna as coisas mais intuitivas.
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Re: Produto escalar

Mensagempor robespierre em Domingo Nov 30, 2008 2:24 pm

Vou reavivar este tópico, pois eu partilho a dúvida do sagardipak.

A explicação do hexphreak baseia-se na afirmação:

o produto escalar é a soma do produto das coordenadas respectivas


Como se prova isto?Ou o produto escalar é a soma do produto das coordenadas respectivas por definição?

Eu imaginei (provavelmente erroneamente) que o produto escalar era a norma de um vector resultante da multiplicação de dois outros.

Neste sentido, partindo do exemplo do hexphreak:

A.B=\sqrt{(xAxB)^2 +(yAyB)2} -por teorema de pitágoras

Porque yAyB=0,

A.B=xAxB=|A||B|\cos\alpha

P.S.:Não sei escrever o sinal de raíz...
P.P.S.:sei que o problema não tem directamente a ver com a física, mas ele ajudar-me-à a perceber a questão do trabalho realizado por uma força
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Re: Produto escalar

Mensagempor hexphreak em Domingo Nov 30, 2008 3:47 pm

Podes tomar qualquer uma das proposições como a definição de produto escalar. Em geral, é mais utilizada a definição analítica e a interpretação geométrica é considerada como um teorema decorrente da definição em \mathbb{R}^n, por uma questão de abstracção e de generalidade.

Geometricamente o produto escalar não é, no entanto, a norma de um "vector produto". O produto de dois vectores cujo resultado é um terceiro vector é designado produto vectorial (por contraste com o produto escalar), e a norma deste vector resultante num espaço Euclidiano é |\vec A||\vec B|\sin \alpha.

Se quiseres utilizar uma definição geométrica (i.e. \vec A \cdot \vec B = |\vec A||\vec B|\cos \alpha), podes seguir o meu raciocínio acima na direcção inversa, para atingires a interpretação analítica.
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Re: Produto escalar

Mensagempor robespierre em Domingo Nov 30, 2008 5:12 pm

Muito obrigado por mais uma explicação, hexphreak. :D
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Re: Produto escalar

Mensagempor jap em Domingo Nov 30, 2008 5:45 pm

robespierre Escreveu:
o produto escalar é a soma do produto das coordenadas respectivas


Como se prova isto?Ou o produto escalar é a soma do produto das coordenadas respectivas por definição?
(....)

Vamos tomar como definição a geométrica:

\vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b| \cos \alpha

Escrevamos os vectores num referencial cartesiano:

\vec a = a_x \hat \imath + a_y \hat \jmath +a_z \hat \kappa

\vec b = b_x \hat \imath + b_y \hat \jmath +b_z \hat \kappa


onde \hat \imath, \hat \jmath e \hat \kappa são os vectores unitários (versores) segundo os eixos cartesianos x, y e z.


Ora, atendendo à propriedade distributiva do produto escalar (que podem demonstrar a partir da definição geométrica), temos que:

\vec a \cdot \vec b = a_xb_x \hat \imath \cdot \hat \imath + a_xb_y \hat \imath \cdot \hat \jmath + a_xb_z \hat \imath \cdot \hat \kappa + a_yb_x \hat \jmath \cdot \hat  \imath + \ldots

Ora é fácil constatar, da definição geométrica que:

\hat \imath \cdot \hat \jmath = 0 (os versores são perpendiculares),

o mesmo acontecendo para todos os produtos "cruzados", e que

\hat \imath \cdot \hat \imath = \hat \jmath \cdot \hat \jmath = \hat \kappa \cdot \hat \kappa  =1

Na soma acima então restam apenas os termos não cruzados:

\vec a \cdot \vec b = a_xb_x  + a_yb_y + a_zb_z, q.e.d.

Espero ter ajudado. :wink:
José António Paixão
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Re: Produto escalar

Mensagempor robespierre em Domingo Nov 30, 2008 6:06 pm

Obrigado pelas ajudas nas deduções.

Já percebi como se passa da definição analítica para geométrica e vice-versa.

Corrijam-me se estiver errado, mas o produto escalar não é nenhum vector como eu pensava, sendo definido (por convenção?) por qualquer das definições anteriormente enunciadas.
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