Matemática disfarçada de Física

Pequenos problemas e/ou curiosidade de Matemática com algo que ver com a Física

Mensagempor jap em Sábado Out 06, 2007 8:14 pm

inpanzinator Escreveu:Não conheço...Entretanto perguntei à minha professora de Física, que salvo erro tem o curso de Eng. Física e ela diz que não consegue porque faltam valores.. :shock:


Pois não faltam valores! :lol:

Comecemos então pelo teorema do valor médio: de uma forma simples, este teorema afirma que para uma função f(x) contínua e diferenciável num intervalo [a,b], existe pelo menos um ponto c pertencente a esse intervalo onde a derivada da função nesse ponto, f^\prime (c), é igual à "derivada média" da função nesse intervalo:

f^\prime (c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

A figura seguinte ilustra o teorema.

Imagem

Uma aplicação deste teorema é a seguinte: se um carro percorre 100 kilómetros numa hora, então é certo que em algum instante do percurso a sua velocidade foi, pelo menos, de 100 km/h!

Diz-me se percebeste até aqui... :roll:
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Mensagempor inpanzinator em Sábado Out 06, 2007 8:21 pm

Até agora percebi...
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Mensagempor jap em Sábado Out 06, 2007 8:27 pm

Bom então vejamos uma outra aplicação do teorema do valor médio de lagrange:

Se um objecto, partindo do repouso, atinge uma velocidade de 100 m/s em 0,5 s, de certeza que em algum instante no seu trajecto ele teve uma aceleração de 200 m/s^2. Estás a ver porquê? Não te esqueças que a aceleração é a derivada da velocidade... :roll:

Se percebeste isto, vais conseguir perceber a demonstração do problema... :wink:
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Mensagempor inpanzinator em Sábado Out 06, 2007 8:36 pm

Sim, também percebi...
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Mensagempor jap em Sábado Out 06, 2007 8:42 pm

Óptimo!

Então vamos lá à demonstração. Para o efeito. vou usar um tipo de movimento possível para o nosso problema, que consiste em acelerar uniformemente durante 0,5 com aceleração de 4 m/s^2 seguido de um retardamento uniforme com uma desaceleração de 4m/s^2. Este é um tipo de movimento possível que satisfaz as condições do problema: o móvel parte do repouso e ao fim de 1 segundo está de novo em repouso, tendo entretanto percorrido exactamente 1 m. Aliás, a distância percorrida é simplesmente a área do gráfico v(t) ou seja do triângulo OAB da figura seguinte, onde as coordenadas dos pontos A, B são:

A: (0,5; 2)
B: (1; 0)


Imagem


De facto, a distância percorrida é

d = 1/2 * base* altura = 1/2 * 1 s * 2 m/s = 1 m.

Repara que o pico do triângulo (ponto A) corresponde à velocidade máxima (2m/s).
Certo? :roll:

Repara que o movimento descrito acima é um caso particular que satisfaz as condições do enunciado do problema, e é sobre ele que vamos construir a demonstração geral. :D
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Mensagempor inpanzinator em Sábado Out 06, 2007 8:57 pm

Percebi...Agora temos de partir deste caso particular para a generalização, certo?
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Mensagempor jap em Sábado Out 06, 2007 9:07 pm

inpanzinator Escreveu:Percebi...Agora temos de partir deste caso particular para a generalização, certo?

Certo, é isso mesmo! :D

Então vamos lá. Vamos considerar um tipo genérico de movimento entre 0 e 1 s tal que o móvel parte do repouso e chega ao fim em repouso, sem exceder 4m/s2 de aceleração em nenhum instante. Vou começar por mostrar que para que não exceda essa aceleração máxima, todos os pontos da hipotética curva v(t) que descreve esse movimento têm de estar *todos* por baixo do triângulo OAB do exemplo anterior!

De facto, imagina que existe um ponto P desta curva v(t) que está um pouco acima da linha OA, num dado instante, por exemplo 0,3 s, para concretizar. Ora, decorre imediatamente do teorema do valor médio que existe um instante entre 0 e 0,3 s onde o móvel tem uma aceleração igual ao declive da recta OP, que é, sem dúvida superior a 4 m/s^2, uma vez que o declive da recta OP é superior ao da recta OA!

Podemos assim concluir que só os movimentos em que todos os pontos da curva v(t) estejam por baixo do triângulo é que não violam a condição de |a| < 4. Mas há muitas curvas nessa situação, não é? Pois há, mas para nenhuma delas é possível satisfizer a outra condição do problema: que ao fim de 1 s o móvel tenha percorrido 1 m. Estás a ver porquê? :roll:
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Mensagempor inpanzinator em Sábado Out 06, 2007 9:16 pm

Sim...Se pensar que a área do triângulo tem de ser sempre 1(m) e a base também tem de ser obrigatoriamente 1(s), é fácil perceber que só naquele caso é possível isso acontecer.
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Mensagempor jap em Sábado Out 06, 2007 9:23 pm

inpanzinator Escreveu:Sim...Se pensar que a área do triângulo tem de ser sempre 1(m) e a base também tem de ser obrigatoriamente 1(s), é fácil perceber que só naquele caso é possível isso acontecer.


Pois é, de facto é impossível os pontos da curva v(t) estarem todos por baixo da "curva" triangular e terem a mesma área do triângulo - a área vai ser menor, e como a área é a distância percorrida, não poderemos ter simultanemante |a| < 4 e d = 1m em 1 s! :D

Esta concusão é válida para qualquer movimento, mas é fácil ver que é assim para o caso especial em que nos restringirmos a uma combinação de aceleração uniforme seguida de travagem uniforme. Como a área (distância) percorrida tem de ser 1, e a área é metade da base * altura, como a base é fixa, a altura tamém é fixa. Ora se deslocarmos o ponto A para a esquerda, ou para a direita, matendo a mesma altura (para bão variar a área), é facil ver, geometricamente, que o declive de um dos lados do triângulo vai exceder 4m /s^2 :P

Vê a figura:

Imagem
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Mensagempor inpanzinator em Sábado Out 06, 2007 9:49 pm

Exactamente...Obrigado pela explicação, que afinal não é muito difícil. Só não percebi muito bem aonde é que o teorema do valor médio é fulcral.
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