Triângulo Invertido

Pequenos problemas e/ou curiosidade de Matemática com algo que ver com a Física

Triângulo Invertido

Mensagempor tomegouveia em Sábado Jan 15, 2011 12:57 pm

Olá a todos. Venho hoje perguntar-vos sobre um símbolo que aparece em várias equações, por exemplo as de Maxwell. O símbolo em questão é um triângulo semelhante ao delta mas invertido. Já me tenho deparado com este símbolo várias vezes mas não sei o que é, nem sequer lhe sei o nome vejam lá... Talvez algum de vós me pode dar uma explicação?
Agradeço desde já
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor Tharis em Sábado Jan 15, 2011 2:06 pm

O símbolo chama-se nabla que representa o operador del do cáculo vectorial. Basicamente é stuff um bocado avançada em Cáculo.

Daqui a pouco, alguém com mais conhecimentos de Cálculo te dará uma melhor resposta. ;)
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor hexphreak em Sábado Jan 15, 2011 2:30 pm

Bem, isto é na verdade uma questão de Matemática e não de Física, mas não faz mal.

Como o Francisco disse, o nome do símbolo é nabla, e é utilizado para representar o operador del, que é basicamente uma forma sintética de escrever o vector \displaystyle \left( {\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}, {\partial \over \partial z} \right). Talvez estejas agora a pensar no significado de uma derivada parcial sem argumento (função); a ideia aqui é que o "produto" de um operador por uma função é o mesmo que o operador aplicado à função. Assim, por exemplo, se f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, \displaystyle \nabla f = \left( {\partial f \over \partial x}, {\partial f \over \partial y}, {\partial f \over \partial z} \right). Esta forma de utilizar o del chama-se gradiente, e há mais duas formas habituais: a divergência e o rotacional.

Como ainda estás no 12º, esta explicação é capaz de ser um bocadinho confusa (talvez não estejas habituado a derivadas parciais ou funções de \mathbb{R}^m em \mathbb{R}^n). Aparentemente ainda ninguém escreveu nada acerca disto na secção de técnicas matemáticas; um destes dias, se estiverem interessados, faço isso :)
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor Bernardo em Sábado Jan 15, 2011 4:04 pm

Então isso significa que uma das equações de maxwell diz que o campo magnético(visto que a variação do campo magnético com a variação da distância é 0) é uniforme, certo?
A minha dúvida é que uma professora de Física-Química disse-me que se tivermos um fio muito longo com uma corrente constante(penso que isto quer dizer que a variação de corrente com a distância é 0) ao afastarmo-nos o do fio(penso que numa direcção na qual o fio não esteja) o campo magnético diminui. A minha interpretação da equação de Maxwell está errada?
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor hexphreak em Sábado Jan 15, 2011 6:54 pm

Bernardo Escreveu:Então isso significa que uma das equações de maxwell diz que o campo magnético(visto que a variação do campo magnético com a variação da distância é 0) é uniforme, certo?

Não, diz uma coisa muito mais interessante. Repara que \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 é o mesmo que escrever \displaystyle {\partial B_x \over \partial x} + {\partial B_y \over \partial y} + {\partial B_z \over \partial z} = 0. Isto não implica que todas as derivadas parciais sejam nulas, apenas que a sua soma o é. A forma mais fácil de ver a diferença é utilizando o teorema da divergência, com o qual se pode transformar a equação na sua forma integral:\displaystyle \oint_S \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = 0. Por outras palavras, o fluxo do campo magnético através de qualquer superfície fechada é nulo; ou, de uma forma mais intuitiva, as linhas do campo magnético fecham-se sempre! (nem que seja no infinito...)

O conteúdo "físico" desta equação é que, ao contrário do caso do campo eléctrico, não existem cargas magnéticas - aquilo que normalmente se denomina monopólos magnéticos. Na verdade, em 1931 Dirac conseguiu mostrar que os monopólos podem existir, de uma forma consistente com as equações de Maxwell, desde que a carga eléctrica seja quantizada, o que de facto se observa. Por outro lado, ainda ninguém conseguiu observar monopólos na Natureza, ou produzi-los de alguma forma - e não por falta de tentativas! :lol:

Bernardo Escreveu:A minha dúvida é que uma professora de Física-Química disse-me que se tivermos um fio muito longo com uma corrente constante(penso que isto quer dizer que a variação de corrente com a distância é 0) ao afastarmo-nos o do fio(penso que numa direcção na qual o fio não esteja) o campo magnético diminui. A minha interpretação da equação de Maxwell está errada?

A tua professora está de facto correcta, mas uma corrente constante quer dizer que a corrente é a mesma em todos os pontos do fio e não varia no tempo.

Espero ter clarificado a tua questão :)
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor tomegouveia em Sábado Jan 15, 2011 8:55 pm

Eu coloquei esta questão aqui e não nas Técnicas Matemáticas porque o subtitulo desta última é "preparação para olímpicos" ou assim e como não sou olímpico não me achei no direito de pôr isto lá :wink:
A wikipedia diz que "a partial derivative of a function of several variables is its derivative with respect to one of those variables, with the others held constant". Isto significa, então, que uma função f(x) não tem derivada parcial?
hexphreak Escreveu:Como ainda estás no 12º, esta explicação é capaz de ser um bocadinho confusa (talvez não estejas habituado a derivadas parciais ou funções de \mathbb{R}^m em \mathbb{R}^n). Aparentemente ainda ninguém escreveu nada acerca disto na secção de técnicas matemáticas; um destes dias, se estiverem interessados, faço isso :)


Agradecia imenso que o fizesses :D
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor hexphreak em Sábado Jan 15, 2011 9:08 pm

tomegouveia Escreveu:A wikipedia diz que "a partial derivative of a function of several variables is its derivative with respect to one of those variables, with the others held constant". Isto significa, então, que uma função f(x) não tem derivada parcial?

Tem, mas só há uma variável em relação à qual podes diferenciar, por isso normalmente ninguém escreve a derivada parcial para funções de uma só variável. No caso de funções de mais que uma variável, \displaystyle {\mathrm{d}f \over \mathrm{d}x} tem outro significado - chama-se a derivada total -, e serve para medir a variação de uma função quando as outras variáveis também podem depender da variável em ordem à qual derivas :crazy:

Não te preocupes muito com estas distinções por agora. Vais acabar por ter mais intuição para o assunto depois de algumas sessões do Quark! :wink:
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor RicardoCampos em Sábado Jan 15, 2011 11:41 pm

Quando derivas uma função real de variável real, a derivada diz-te como varia o f quando varias o x não é? Quando tens uma função real a 3 variáveis (por exemplo), não podes perguntar simplesmente "como varia o f(x,y,z) quando varia (x,y,z) ?". Isto porque há muitas formas de variar (x,y,z). Porem, podes perguntar como varia a função se apenas variares um dos parâmetros. \frac{\partial f}{\partial y} diz-te isso em relação a y.
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor tomegouveia em Domingo Jan 16, 2011 12:29 am

Acho que já percebi um pouco melhor o assunto das derivadas parciais... Só não percebi a utilidade de fazer disso um vector, com o dito \nabla...
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor hexphreak em Domingo Jan 16, 2011 12:39 am

tomegouveia Escreveu:Acho que já percebi um pouco melhor o assunto das derivadas parciais... Só não percebi a utilidade de fazer disso um vector, com o dito \nabla...

É apenas uma questão de notação e de "simplificação mental". O \nabla, como vector, pode ser intuitivamente aplicado numa "multiplicação por escalar" (o gradiente), num "produto escalar" (divergência) ou num "produto vectorial" (rotacional), e a simplificação notacional que isto traz é muito grande! Basta tentar escrever as equações de Maxwell sem nablas, ou, pior ainda, as várias identidades vectoriais utilizadas frequentemente no estudo do Electromagnetismo...

A questão da notação é, como decerto te irás aperceber ao longo do Quark!, mais importante do que mera conveniência de escrita (embora também seja isso; físicos e matemáticos são preguiçosos q.b. :P). É também uma forma de unificar coisas que parecem à partida desligadas e de aliviar a carga mental na resolução de problemas :)
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor Bruno Oliveira em Domingo Jan 16, 2011 12:45 am

No 2º volume das Feynman Lectures on Physics, tens uma excelente explicação sobre as aplicações destas importantes noções de Cálculo Vectorial em Física :wink:
e^{ix}=cos x + i\,sin x
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor RicardoCampos em Domingo Jan 16, 2011 10:02 am

tomegouveia Escreveu:Acho que já percebi um pouco melhor o assunto das derivadas parciais... Só não percebi a utilidade de fazer disso um vector, com o dito \nabla...


Faz todo o sentido dizeres isso, mas a utilidade disso é uma coisa que vais percebendo com o tempo ;).
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor tomegouveia em Domingo Jan 16, 2011 11:00 am

hexphreak Escreveu:É apenas uma questão de notação e de "simplificação mental". O \nabla, como vector, pode ser intuitivamente aplicado numa "multiplicação por escalar" (o gradiente), num "produto escalar" (divergência) ou num "produto vectorial" (rotacional), e a simplificação notacional que isto traz é muito grande!

Agora fiquei ainda mais curioso... Eu conheço todos esses conceitos, produto por um escalar, produto escalar e vectorial, mas nunca até agora ouvi esses nomes (gradiente, divergência e rotacional), muito menos uma operação que os unisse...
Talvez se já soubesse alguma coisa de electromagnetismo (mais do que sei, pelo menos) conseguisse perceber melhor isto... A seu tempo :XD

Quão disparatado é eu arranjar um livro de cálculo no 12º ano? Eventualmente hei-de precisar dele a sério não é?
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor hexphreak em Domingo Jan 16, 2011 1:41 pm

tomegouveia Escreveu:Quão disparatado é eu arranjar um livro de cálculo no 12º ano? Eventualmente hei-de precisar dele a sério não é?

Nada disparatado, e até já foi colocada a mesma questão antes. Vê aqui. Em suma, se quiseres um bom livro, aconselho-te vivamente o Spivak, embora não contenha nada de Cálculo a mais dimensões. Para isso o Apostol é muito bom, com boas ilustrações, e inclui ainda Álgebra Linear :)

Por outro lado, também tenho que te aconselhar contra focares-te demais em aprender os aspectos mais técnicos e perderes a big picture. Cálculo não tem, conceptualmente, nada de difícil, e a Física é um excelente lugar para ver montanhas de aplicações e ganhares alguma intuição para o assunto, sem entrar pelas partes mais difíceis da Matemática. Já vais ter cadeiras na faculdade para isso :wink:

Talvez o melhor seja mesmo esperares pela mítica aula do Prof. Fnog e aprenderes a minhocar à maneira dele :twisted:
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Re: Triângulo Invertido

Mensagempor RicardoCampos em Domingo Jan 16, 2011 2:32 pm

tomegouveia Escreveu:Quão disparatado é eu arranjar um livro de cálculo no 12º ano?


Nada disparatado. Eu aconselho-te o Spivak, mas claro que como o Henrique disse não fala já destas coisas, mas é importante aprender primeiro o que vem primeiro não é? É dos livros mais bem escritos que eu conheço e não é preciso mais intuição do que ele dá (mas isso digo eu que estou em matemática...)

Eventualmente hei-de precisar dele a sério não é?

Sim
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