Preparação prévia para as Olimpíadas

por **Tharis** em Sábado Out 25, 2008 2:46 pm

Prova Teórica Regional

Para o 1.1, tinha calculado F de interacção entre Ceres e o Satélite e a partir daí não sabia como se resolvia e fui perguntar à minha professora. Ela disse-me que era a matéria que ia dar naquela aula... :lol:

Então,

$ma &=& \frac {GMm}{d^2} \Leftrightarrow a &=& \frac {GM}{(R_c + h)^2}$

$v &=& \sqrt{Ra}\Leftrightarrow v &=& \sqrt {\frac{GM}{R_c+h}}$

= massa de Ceres
R_c

= Raio de Ceres

= Raio da Trajectória Circular

= altura do satélite

Antes de mais, queria saber se as fórmulas estão correctas... Não estou com o livro ao lado, e não o vou ter durante o fim-de-semana...

Anyway, se as fórmulas estiverem correctas será mais ou menos isto:

$v &=& \sqrt {\frac{GM}{R_c+h}} \Leftrightarrow v &=& \sqrt {\frac{6,67 \times 10^{-11} \times 9,5 \times 10^{20}}{5,2 \times 10^5}} \Leftrightarrow v &=& \rm 349~m/s$

1.2

Resposta C, porque é um par acção-reacção.

1.3 Não percebi o enunciado. Alguém se digna a perder 1 minuto da sua vida e a explicar-mo?

Estarão estas respostas certas?
Se não, é o raciocínio, fórmulas ou cálculos?

Cumps

P.S.: O $\LaTeX$ está um bocado ranhoso, mas nunca tinha tido a necessidade de mexer nele...

por **Ângela Guerra** em Sábado Out 25, 2008 4:26 pm

Tharis, as tuas respostas estão correctas. Quanto à 1.3, o essencial da questão é calcular a altura a que se situa o satélite... Assim que tiveres este dado, é só calcular o tempo que a luz demora a percorrê-lo. :wink:

por **jap** em Sábado Out 25, 2008 9:32 pm

Sim, as tuas respostas parecem-me bem - só não verifiquei os cálculos. Quanto à alínea 1.3, como diz a Ângela, sabendo que o satélite é estacionário em Ceres, o período da sua órbita é igual ao da rotação de Ceres em torno do seu eixo. Daí, e usando as tuas expressões, podes calcular a altura a que está o satélite. Sabendo isso, a resposta ao problema é imediata. :wink:

PS: Editei ligeiramente o teu $\LaTeX$ para ficar mais bonito - mas estava já bastante bem: parabéns! :hands:

por **Tharis** em Sábado Out 25, 2008 10:13 pm

Já percebi o problema... Anyway, estive aqui a fazer no papel umas coisinhas e levava-me sempre para uma raiz cúbica. Existe alguma maneira que não leve à raiz cúbica?

por **jap** em Sábado Out 25, 2008 10:16 pm

Tharis Escreveu::wall: Já percebi o problema... Anyway, estive aqui a fazer no papel umas coisinhas e levava-me sempre para uma raiz cúbica. Existe alguma maneira que não leve à raiz cúbica?

Tens algum preconceito contra as raízes cúbicas? :lol:

por **Tharis** em Sábado Out 25, 2008 10:19 pm

jap Escreveu:
Tharis Escreveu::wall: Já percebi o problema... Anyway, estive aqui a fazer no papel umas coisinhas e levava-me sempre para uma raiz cúbica. Existe alguma maneira que não leve à raiz cúbica?

Tens algum preconceito contra as raízes cúbicas?

Nem por isso... Porque raramente aparecem (pelo menos na minha curta viagem por este mundo)... E deduzi que existe uma melhor solução... O meu pensamento é baseado nos concursos de programação: "Se é estranho, é muito provável que haja uma melhor e mais bonita maneira de o fazer..." :mrgreen:

por **jap** em Sábado Out 25, 2008 10:30 pm

Ora então apresenta aí a tua outra solução...

por **Tharis** em Sábado Out 25, 2008 10:53 pm

jap Escreveu:Ora então apresenta aí a tua outra solução...

Acho que afinal não estava errada:

$v &=& \omega \times R$
$v &=& \sqrt {Ra}$
$a = \frac {GM}{R^2}$

$v &=& \sqrt {Ra} \Leftrightarrow \omega^2 \times R = a \Leftrightarrow \omega^2 \times R^2 = \frac {GM}{R^2} \Leftrightarrow R = \sqrt[3] {\frac {GM}{\omega^2}}$

Será que tenho algo mal que não vi?
Deve haver uma melhor maneira, certo? (Se sim, NÃO DIZER)

Cumps

por **jap** em Sábado Out 25, 2008 11:03 pm

Não me parece que existe outra maneira...no final chegamos sempre à raíz cúbica! :lol:

Eu faria simplesmente (é o mesmo que tu fizeste):

$a = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R =\frac{4\pi^2R}{T^2}$ e $a = \frac{GM}{R^2}$ ,

logo

$R = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}$

por **Ângela Guerra** em Sábado Out 25, 2008 11:09 pm

Tharis Escreveu: $v &=& \sqrt {Ra} \Leftrightarrow \omega^2 \times R^2 = a \Leftrightarrow \omega^2 \times R^2 = \frac {GM}{R^2} \Leftrightarrow R = \sqrt[3] {\frac {GM}{\omega^2}}$

Eu acrescentaria só que $a=\omega^2 R$ , e não R^2

, mas deve ter sido só erro de digitação, caso contrário terias chegado a uma raíz de índice 4...

por **Tharis** em Sábado Out 25, 2008 11:12 pm

jap Escreveu:Não me parece que existe outra maneira...no final chegamos sempre à raíz cúbica!

Eu faria simplesmente (é o mesmo que tu fizeste):

$a = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R =\frac{4\pi^2R}{T^2}$ e $a = \frac{GM}{R^2}$ ,

logo

$R = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}}$

Pois, eu depois fui tentar "outras substituições" e foi isso que me foi dar... Então assim já fico contente!

Obrigado e Cumps

P.S.:

Ângela Guerra Escreveu:
Tharis Escreveu: $v &=& \sqrt {Ra} \Leftrightarrow \omega^2 \times R^2 = a \Leftrightarrow \omega^2 \times R^2 = \frac {GM}{R^2} \Leftrightarrow R = \sqrt[3] {\frac {GM}{\omega^2}}$

Eu acrescentaria só que $a=\omega^2 R$ , e não , mas deve ter sido só erro de digitação, caso contrário terias chegado a uma raíz de índice 4...

Pois, tens razão, enganei-me a digitar, vou já corrigir.

por **jap** em Sábado Out 25, 2008 11:13 pm

Repara que

R^3

é proporcional a T^2

, sendo a constante de proporcionalidade o factor $\frac{GM}{4\pi^2}$ . Isto não é mais nem menos do que a 3ª lei de Kepler dos movimentos planetários! :wink:

por **Tharis** em Sábado Out 25, 2008 11:51 pm

$R = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} \Leftrightarrow R = \sqrt[3] { \frac {6,67 \times 10^{-11} \times 9,5 \times 10^{20}}{4\pi^2}} \Leftrightarrow R = \sqrt[3] {1,73 \times 10^{18}}$

Não será o 1,73 x 10^18 um bocado grande para a calculadora científica resolver a raiz cúbica?

Cumps

P.S.: Não tenho uma calculadora aqui, por isso, não pude testar...

por **jap** em Sábado Out 25, 2008 11:59 pm

Tharis Escreveu: $R = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} \Leftrightarrow R = \sqrt[3] { \frac {6,67 \times 10^{-11} \times 9,5 \times 10^{20}}{4\pi^2}} \Leftrightarrow R = \sqrt[3] {1,73 \times 10^{18}}$

Não será o 1,73 x 10^18 um bocado grande para a calculadora científica resolver a raiz cúbica?

Cumps

P.S.: Não tenho uma calculadora aqui, por isso, não pude testar...

A calculadora calcula sem problemas $R =\rm 1,20\times10^6~m$ , valor que até seria fácil estimar de cabeça... :lol:

por **Tharis** em Domingo Out 26, 2008 12:08 am

jap Escreveu:
Tharis Escreveu: $R = \sqrt[3]{\frac{GMT^2}{4\pi^2}} \Leftrightarrow R = \sqrt[3] { \frac {6,67 \times 10^{-11} \times 9,5 \times 10^{20}}{4\pi^2}} \Leftrightarrow R = \sqrt[3] {1,73 \times 10^{18}}$

Não será o 1,73 x 10^18 um bocado grande para a calculadora científica resolver a raiz cúbica?

Cumps

P.S.: Não tenho uma calculadora aqui, por isso, não pude testar...

A calculadora calcula sem problemas $R =\rm 1,20\times10^6~m$ , valor que até seria fácil estimar de cabeça...

Estimar até estimei para a potência de base 10... Não me lembrei foi de fazer para o 1,73... Por isso dava mal. Bah, isto já é a hora adientada e a falta de sono... Ainda bem que hoje há mais 1 hora para dormir.

Obrigado e Cumps

Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Re: Preparação prévia para as Olimpíadas

Quem está ligado